Forma sistemática de completar el cuadrado para la forma cuadrática de tres variables

Question

Tengo el polinomio $6h^2+8k^2+12l^2-12hk-12hl+16kl$ y me gustaría factorizarlo para encontrar la signatura de la forma cuadrática. La respuesta correcta es $6(hkl)^2 +2(k+l)^2 +4l^2$ lo que significa que la firma es positiva-definida.

Mi intento me llevó a $6(h-k)^2+6(h-l)^2+8(k+l)^2-6h^2-6k^2-2l^2$ pero no consigo llegar a la respuesta correcta.

¿Hay alguna forma sistemática de hacerlo?

Answer 1

Sí, hay una forma sistemática: en primer lugar, escríbalo como $$a(h+rk+sl)^2+\phi(k,l)$$ donde $\phi$ es una forma cuadrática en $k$ y $l$ . A continuación, escriba $$\phi(k,l)=b(k+rl)^2+\psi(l).$$