Si $f$ es isométrico en un subconjunto limitado $C \subset \mathbb{R}^n$ que $\partial C$ tiene medida nula, entonces $vol(f(C)) = vol(C)$ .

Question

Si $f: \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R}^n$ es isométrico en a $C \subset \mathbb{R}^n$ subconjunto limitado que $\partial C$ tiene medida nula, entonces $vol \ f(C) = vol (C)$ .

$\textbf{My attempt:}$

Aplico el Teorema del Cambio de Variables para obtener que $\int_{f(C)} g = > \int_C (g \circ f) |det \ f'|$ y, suponiendo que $g = \chi_{f(C)}$ , $\int_{f(C)} 1 = \int_C 1 \ |det \ f'|$ es decir, $vol(f(C)) = \int_C 1 \ |det \ f'|$ .

Mis dudas sobre este intento son:

$\textbf{1.}$ Necesito demostrar que $f: int(C) \longrightarrow f(int(C))$ es un $C^1-$ isomorfismo para aplicar el Teorema del Cambio de Variables, pero no sé cómo puedo demostrarlo.

$\textbf{2.}$ Necesito demostrar que $|det f'(x)| = 1$ para cada punto $x$ en $C$ pero no sé cómo puedo demostrarlo.

Creo que debo usar el hecho de que $||f(x) - f(y)|| = ||x - y||$ para cada punto $x, y \in C$ para resolver mis dudas. ¿Alguien me puede ayudar? ¡Gracias de antemano!

EDITAR :

Sé que la transformación alineal $A$ es ortogonal cuando $A^T = A^{-1}$ . Si $f'$ es una transformación lineal ortogonal, entonces $det \ f' = det \ f'^T = det (f')^{-1}$ . Desde $det f' \circ (f')^{-1} = det f * det f'^{-1}$ , $det f' \circ (f')^{-1} = det Id$ y $det \ f' = det f'^T$ tenemos $|det f'| = 1$ . Pensé en esto, pero no veo cómo el hecho de $f$ sea isométrico, implica que $f'$ es una matriz ortogonal.

Answer 1

Isometrías de $\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$ tienen determinante $\pm1$ . Esto se debe a que el conjunto de matrices ortogonales forman el grupo de isometría de $\mathbb{R}^n$ . Por lo tanto, dado que $D_pf$ es un mapa lineal, la matriz subyacente o jacobiana $J$ es ortogonal, es decir $JJ^T = I$ y así $\textbf{det}(J) ^2= 1$ .