Integral del espacio de Minkowski de Schroeder - Preocupaciones sobre las rotaciones de Wick

Question

En el apéndice del libro de Peskin y Schroeder "An Introduction to Quantum Field Theory" hay una lista de integrales en el espacio de Minkowski. De particular interés para mí es la integral (A.44): $$ I(\Delta) = \int \frac{d^{d}\ell}{(2\pi)^d} \frac{1}{(\ell^{2} - \Delta)^{n}} = \frac{(-1)^{n} i }{(4\pi)^{d/2}} \frac{\Gamma(n-\tfrac{d}{2})}{\Gamma(n)} \left( \frac{1}{\Delta} \right)^{n-d/2} $$

$\Delta$ no depende de $\ell$ y Peskin utiliza la métrica $(+---)$ . También, $d$ es la dimensión del espacio que estamos viendo, obviamente. Peskin deriva esta integral por Wick girando al espacio euclidiano tal que $\ell^{0} = i \ell^{0}_{\mathrm{E}}$ y $\ell^{2} = - \ell^{2}_{\mathrm{E}}$ (se explica con más detalle en el capítulo 6.3).

(Contexto: Necesito ver la integral anterior para $n=3$ . Supuestamente esto diverge en $d=4$ que es lo que estoy mirando)

Tengo dos preguntas sobre esta integral:

• Debido a la rotación de Wick utilizada, ¿es exacta la integral anterior o sólo funciona una parte del tiempo, o como aproximación? Siempre pensé que era exacta, pero hace poco tuve una discusión con alguien que me dijo que esto no es cierto y que una rotación de Wick no da necesariamente el resultado exacto. Estoy confuso y me gustaría que me lo aclararan.

• En segundo lugar, Schroeder utiliza el $(+---)$ (también conocida como la métrica equivocada para los aficionados de la Costa Este como yo). Esto significa que $\ell^{2} = (\ell^{0})^2 - ||\boldsymbol{\ell}||^{2}$ . Me pregunto, ¿cambia el resultado de la integral anterior si utilizamos la métrica $(-+++)$ ? Sobre todo estoy anticipando que un signo menos extra flota en alguna parte ya que ahora tendríamos $\ell^{2} = -(\ell^{0})^2 + ||\boldsymbol{\ell}^{2}||$ .

Answer 1

1. La integral euclidiana $$\begin{align} I_E(\Delta) ~:=~&\int \! \frac{d^d\ell_E}{(2\pi)^d} \frac{1}{(\Delta+\ell_E^2)^n}\cr ~\stackrel{(A.44)}{=}&\frac{1}{(4\pi)^{d/2}}\frac{\Gamma\left(n-\frac{d}{2}\right)}{\Gamma(n)} \Delta^{\frac{d}{2}-n}\end{align}\tag{E}$$ es integrable si $$n>\frac{d}{2}.$$ Véase también el grado superficial de divergencia .

2. Para $n<\frac{d}{2}$ la integral euclidiana $I_E(\Delta)$ se declara en regularización dimensional sea igual al lado derecho de la ec. (E) mediante continuación analítica .

3. La integral de Minkowski en la $(\mp,\pm,\ldots,\pm)$ se define mediante Rotación de la mecha $$\ell_M^0~=~i\ell_E^0 \tag{A.43}$$ viene dada por la integral euclidiana $$I_M(\Delta) ~:=~\int \! \frac{d^d\ell_M}{(2\pi)^d} \frac{1}{(\Delta\pm\ell_M^2)^n} ~\stackrel{(E)}{:=}~i I_E(\Delta),\tag{M}$$ respectivamente.