Prueba basada en cálculo de que $ x_1^{p_1}\cdots x_n^{p_n}\le p_1x_1+\dots+p_nx_n$ cuando $\sum p_i=1$

Question

Permítanme

$$g(x_1...x_n)=x_1^{p_1}\cdot...x_n^{p_n}$$ $$u(x_1...x_n)=p_1x_1+...p_nx_n$$

Donde $\sum p_i = 1$.

Tengo que demostrar que $f(x)=g(x)-u(x)$ siempre es negativo o $0$ sobre $\Bbb R_+^n$. Ya he demostrado que $f$ tiene puntos críticos a lo largo de la diagonal de $\Bbb R(1, ... 1)$, que es $0$ en cada uno de estos puntos críticos, y que su Hessiana en cada uno de estos puntos es negativa definida, por lo que sé que son máximos locales. Pero para concluir lo que necesito, debo demostrar que también son máximos globales.

¿Cómo puedo hacer esto? Sé que no hay otros máximos (porque no hay otros puntos críticos), pero la función podría tender a algo positivo en el infinito, por ejemplo. ¿Debería estudiar el comportamiento de $f(x)$ a medida que $|x|\to\infty$? ¿Cómo abordaría eso para una función multivariable como esta?

Answer 1

La función $f$ es homogénea: $f(tx_1,\dots,tx_n)=tf(x_1,\dots,x_n)$. Por lo tanto, basta con demostrar que $f\le 0$ en la intersección de $\mathbb R^n_+$ con la esfera unitaria. Esto se convierte en un problema de maximización restringida. Dado que la intersección es un conjunto compacto, el máximo se alcanza en algún lugar. En el límite de esta pieza esférica tenemos que $g=0$ (porque una de las coordenadas se anula), por lo tanto $f<0$. Para eliminar puntos críticos que no sean el que conoces, puedes trabajar con el multiplicador de Lagrange, lo que lleva a $\nabla f(x)=\lambda x.

Dicho esto... creo que lo anterior lo está haciendo de la manera difícil. Prefiero aplicar la desigualdad de Jensen a la función cóncava $t\mapsto \log t$.