Demostrar la desigualdad $0<(m+n)/(mn-1)\le 3$ para $m,n\in\mathbb N $ avec $mn\ne 1$

Question

Demuestra la desigualdad simple: $0<\frac{n_1+n_2}{n_1n_2-1}\leq 3$ para todos $n_1,n_2\in\mathbb{N}$ avec $n_1n_2\neq1$

Progreso

He comprobado la desigualdad de $n_1,n_2=1,2,3$

Answer 1

Set: $$n_3=\max\{n_1,n_2\}$$ Así que $$n_1+n_2\le2n_3\,\,\,\text{and}\,\,\,n_1n_2\ge n_3$$ Por lo tanto, para $n_3\ge3$ : $$\frac{n_1+n_2}{n_1n_2 - 1}\le\frac{2n_3}{n_3 - 1}\le3$$ Y como ha señalado, ya ha comprobado que la desigualdad deseada es correcta cuando $n_3<3$ .