Desigualdad de Hardy ponderada para dominios acotados

Question

Hola,

Necesito una desigualdad similar a esta para dominio acotado [0,L]. http://img94.imageshack.us/img94/3166/screenshot1qy.png

Mi u(x) no es 0 en la frontera.

Les agradecería que me ayudaran con esta pregunta,

Edición: Más concretamente, ¿es cierta la siguiente afirmación?

Para $F\in C^1[0,L]$ avec $F(0)=0$ o $\int_0^L F(x)dx=0$ se tiene la estimación $$ \int_0^L|F(x)|^px^{\beta}dx\leq c\int_0^L|F'(x)|^px^{\beta+p}dx $$

Answer 1

Lo siento, no puedo acceder a la imagen en mi navegador; no se carga por alguna razón. ¿Podría escribir la desigualdad en Latex?

Así que tendré que adivinar qué es lo que quieres; disculpa si no es esto lo que preguntas. La clásica desigualdad unidimensional de Hardy

$$ \int_0^\infty \left| \frac{1}{t} \int_0^t f(s) ds \right|^2 dt \leq 4 \int_0^\infty |f(s)|^2 ds $$

tiene una generalización para los pesos: para cualquier función $m,w \geq 0$ la mejor constante $M=M(m,w)$ en la desigualdad

$$ \int_0^\infty \left| \int_0^t f(s) ds \right|^2 m(t) dt \leq M \int_0^\infty |f(s)|^2 w(s)ds $$

está relacionada con la cantidad $$ S(m,w) = \sup_{R>0} \left( \int_R^\infty m(t) dt \right) \left( \int_0^R w(s)^{-1} ds \right) $$ por $S \leq M \leq 4S$ . Además, si $M$ o $S$ es igual a $+\infty$ entonces también lo hace la otra (es decir, no tenemos ninguna desigualdad Hardy razonable).

Hay generalizaciones para $L^p$ , $L^q$ normas, y $d\mu(t)$ una medida en lugar de $m(t)dt$ . Si buscas Hardy's Inequality with Weights de B. Muckenhoupt de alrededor de 1972, y documentos relacionados más recientes, obtendrás un montón de artículos.

Sin embargo, las cuestiones multidimensionales son más difíciles y se sabe mucho menos.

Así que, si sólo querías una versión unidimensional en $[0,L]$ en lugar de $[0,\infty)$ puede establecer $m(t) = 0$ y $w(s) = +\infty$ para $t,s > L$ .

Answer 2

En realidad necesitas alguna condición de contorno como "u(0)=0", o una condición integral como "u tiene media cero", para deshacerte de las funciones constantes. De lo contrario claramente no se puede acotar una norma de u con una norma de u'. Nótese que no hay problema con las funciones constantes en la desigualdad de Hardy en [0, ∞) para u se supone que está en un espacio de Sobolev ponderado. También tenga en cuenta que la relación LHS / RHS en su desigualdad no depende de L, por lo que (una vez que haya elegido la restricción como he escrito) puede fijar L = 1.