Una pregunta sobre $S_{6}$ .

Question

Esto es parte de una prueba de que no existe ningún grupo simple de orden $120 = 2^{3} \cdot 3 \cdot 5$ .

Supongamos que existe $G$ . A continuación, compruebe $n_{5}(G) = 6$ y considerando la acción sobre cosets derechos de $N_{G}(P)$ avec $P \in \text{Syl}_{5}(G)$ podemos inyectar este grupo $G \leqslant S_{6}$ .

¿Cómo mostramos $G \leqslant A_{6}$ ? Y en general, ¿qué supuestos se utilizan cuando un subgrupo de $S_{n}$ está en $A_{n}$ ? Para la segunda pregunta se agradecerá cualquier ejemplo, sea trivial o no.

Answer 1

Considere el mapa $$G\hookrightarrow S_6\rightarrow \lbrace -1,+1\rbrace$$ donde el último morfismo es el morfismo de firma. Por simplicidad de $G$ tiene que ser trivial, por lo que la imagen de $G$ bajo te incrustación en $S_6$ se encuentra en el núcleo de la firma, que resulta ser el grupo alterno $A_6$ .

Es la misma idea que en esta respuesta .

Answer 2

Bueno, si $G\not\subset A_6,$ entonces $G\cap A_6$ sería un subgrupo normal propio.