Calcule $4||x+y||2+||x−y||2$

Question

Tomemos $x, y \in X$ donde $X$ es un espacio vectorial con norma inducida por el producto interior.

Además $||3x+y||= 2$ , $||x+3y|| = 2$ .

Quiero calcular $4||x+y||^2+||x-y||^2$ $\\$

Mi trabajo hasta ahora

Porque $X$ tiene una norma inducida por producto interior entonces para $x,y \in X$ tenemos $$||x+y||^2 + ||x-y||^2 = 2(||x||^2+||y||^2)$$

Así que..:

$4||x+y||^2 + ||x-y||^2 = 3||x+y||^2 + (||x+y||^2 + ||x-y||^2) = 3||x+y||^2 + 2(||x||^2 + ||y||^2)$

Y no estoy seguro de qué hacer a continuación... No estoy seguro de cómo puedo Estaba tratando de reescribir esta expresión para incluir de alguna manera la información que $||3x+y|| = ||x+3y|| = 2$ pero no fui capaz. ¿Podría darme una pista sobre cómo calcularlo?

Answer 1

Vas por buen camino con la ley del paralelogramo. Aplícala a $u=3x+y$ y $v=x+3y$ : $$16 = 2 (\Vert 3x+y\Vert^2 + \Vert x+3y\Vert^2 ) = \Vert 4x+ 4y \Vert^2 + \Vert 2x - 2y \Vert^2 \\ = 16 \Vert x+y \Vert^2 + 4 \Vert x-y \Vert^2 = 4 (4\Vert x+y \Vert^2 + \Vert x-y \Vert^2)$$

Answer 2

Utilice el hecho de que $$\|x \pm y\|^2 = \|x\|^2 + \|y\|^2 \pm 2\Re\langle x, y \rangle.$$