¿Cómo obtenemos la descomposición canónica cokernel-kernel en una categoría preabeliana?

Question

En una categoría preabeliana, todo morfismo $f: A \to B$ tiene una descomposición canónica:

$$ A \to coker(kerf) \to ker(cokerf) \to B $$

¿Cómo obtenemos el morfismo medio, el de $coker(kerf)$ a $ker(cokerf)$ ?

Gracias, señor.

Answer 1

Tenemos el diagrama conmutativo

Entonces, por propiedad universal del límite $\ker(\mathrm{coker}\, f)$ tenemos flechas tales que

Entonces, por propiedad universal del colímite $\mathrm{coker}(\ker f)$ tenemos una flecha

¡cual es el buscado !

Edita. Mis diagramas son un poco altos. Avísame si te resulta incómodo leerlos y los reduciré.

Answer 2

Bien, $\DeclareMathOperator{\coker}{coker}$ $\coker f \circ f = 0$ Así que $f = \ker \coker f \circ c$ ; pero $f \circ \ker f = 0$ y $\ker \coker f$ es mónico, por lo que $c \circ \ker f = 0$ Así que $c = d \circ \coker \ker f$ para algunos $d$ según sea necesario.