Resolución de ecuaciones incluyendo la función suelo.

Question

Tengo algunos problemas para resolver ecuaciones que implican la función suelo de forma eficiente.

Por ejemplo :

$$\left\lfloor\frac{x+3}{2}\right\rfloor = \frac{4x+5}{3}$$

En el anterior, entiendo que básicamente dejas que $$\frac{4x+5}{3} = k$$ y luego insertar $k$ en el lado izquierdo, toma $k = 8l, 8l+1$ y así sucesivamente.

Si hay una solución mejor que la anterior, por favor, dímelo.

Mi principal problema es cuando se trata de funciones que tienen varios pisos como :

$$\left\lfloor \frac{x+1}{3}\right\rfloor + \left\lfloor\frac{2x+5}{6}\right\rfloor = \frac{3x-5}{2}$$

Utilizando el mismo método para cada una de ellas y luego intersecando las soluciones debería darme la respuesta correcta, pero ¿hay alguna forma más rápida de resolver ecuaciones como ésta?

Answer 1

Como el lado izquierdo es entero, también debería serlo $\dfrac{3x-5}2\iff2|3(x-1)\iff2|(x-1)\implies x$ es impar (suponiendo que $x$ sea un número entero)

De nuevo como lcm $(3,6)$ necesitamos comprobar $x\equiv0,1,2,3,4,5\pmod6$

Pero como $x$ es impar, $x\equiv1,3,5\pmod6$

Si $x=6b+1$

$$\left\lfloor\frac{x+1}{3}\right\rfloor + \left\lfloor\frac{2x+5}{6}\right\rfloor=\left\lfloor\frac{6b+1+1}{3}\right\rfloor + \left\lfloor\frac{2(6b+1)+5}{6}\right\rfloor=2b+(2b+1)=4b+1$$

et $$\dfrac{3x-5}2=\dfrac{3(6b+1)-5}2=9b-1$$

etc.

Si $x$ no es necesariamente un número entero, $\dfrac{3x-5}2+I\iff x=\dfrac{5+2I}3$

Compruebe si $I\equiv0,1,2\pmod3$

Answer 2

Desde $\dfrac{4x+5}3 = \left\lfloor \dfrac{x+3}2 \right \rfloor$ es un número entero, necesitamos $3$ dividir $4x+5$ es decir, $$\dfrac{4x+5}3 = m \in \mathbb{Z} \implies x = \dfrac{3m-5}4 \text{ where }m \in \mathbb{Z}$$ Por lo tanto, $$\left\lfloor \dfrac{x+3}2 \right\rfloor = m \implies \dfrac{x+3}2 = m + e \implies x+3 = 2m+2e \implies x = 2m-3+2e$$ donde $e \in[0,1)$ . Por lo tanto, necesitamos $$\dfrac{3m-5}4 = 2m-3+2e \implies 3m-5 =8m-12+8e \implies 8e = -5m+7$$ Esto nos da $e = \dfrac{7-5m}8$ . Desde $e \in [0,1)$ tenemos $7-5m \in [0,8) \implies m = 0,1$ . Por lo tanto, $$x=-\dfrac54,-\dfrac12$$

Answer 3

**A continuación he proporcionado una solución $\mathbf{\left(\frac{4x+5}{3}=t\right)}$ $,\,t\in\mathbb z$

$\rightarrow$ $$x=\left(\frac{3t-5}{4}\right)$$ $$\lfloor\left(\frac{\frac{3t-5}{4}+3}{2}\right)\rfloor=t$$ $\rightarrow$ $$\lfloor\left(\frac{3t+7}{8}\right)\rfloor=t$$ $$t\le\left(\frac{3t+7}{8}\right)\lt t+1$$ $$t\le\left(\frac{7}{5}\right) ,t\gt\left(\frac{-1}{5}\right)$$ $\rightarrow$ $$t=0 , 1$$ $$x=\left(\frac{-5}{4}\right) or x=\left(\frac{-1}{2}\right)$$ gracias por su atención