Evaluar la integral $\iint_De^{-x^2}\,dx\,dy$

Question

Encuentre $\iint_De^{-x^2}\,dx\,dy$ donde $D$ es el triángulo formado por los puntos $O(0,0), A(1,0), B(1,1)$

Estoy totalmente perdido en esto. Sólo tengo experiencia con funciones de círculo, y convertirlos a polar y encontrar los límites en $$ y $r$ pero aquí son sólo puntos.

¿Alguien puede ayudarme a entender esto? ¿Sólo tengo que atar $x$ a $[0,1]$ y $y$ a $[0.1]$ ?

Answer 1

Tenga en cuenta que $D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:0\leq x,y\leq1\text{ and }x\leq y\}$ . Por lo tanto $$\iint_De^{-x^2}dxdy=\int_0^1\left(e^{-x^2}\int_0^{x}dy\right) \;dx$$ Tenemos que $\int_0^{x}dy=x$ y por lo tanto $$\iint_De^{-x^2}\,dx\,dy=\int_0^1xe^{-x^2}\,dx=\frac12\left(1-\frac1e\right)$$

Answer 2

$$\int_0^x\int_0^1e^{-x^2}\,dx\,dy$$

$$\int_0^1\int_0^xe^{-x^2}\,dy\,dx=\int_0^1(e^{-x^2}y)|_0^x$$ $$\int_0^1xe^{-x^2}\,dx$$

$u=-x^2$

$du=-2x\,dx$

$dx=\frac{du}{-2x}$

$$\int_0^1xe^u\frac{du}{-2x}=-\frac{1}{2}\int_0^{-1}e^u\,du$$

$$-\frac{1}{2}(e^u|_0^{-1})=-\frac{1}{2}(e^{-1}-1)=-\frac{1}{2e}+\frac{1}{2}$$

Answer 3

$$ \iint\limits_{x,y\,:\,0\,<\,y\,<\,x\,<\,1} e^{-x^2} \,d(x,y) $$ Aquí he escrito $d(x,y)$ en lugar de $dx\,dy$ o $dy\,dx$ para indicar que se trata de una integral doble en lugar de una integral iterada y que no hay un orden particular de integración.

El hecho de que $e^{-x^2}$ es en todas partes no negativa es suficiente para implicar que la integral doble es igual a esta integral iterada, cuya evaluación es fácil: $$ \iint\limits_{x,y\,:\,0\,<\,y\,<\,x\,<\,1} e^{-x^2} \,d(x,y) = \int_0^1 \left( \int_0^x e^{-x^2} \, dy\right) \,dx $$ (La única vez que una integral doble no es igual a una integral iterada de este modo es cuando las integrales de las partes positiva y negativa de la función son ambas infinitas, en cuyo caso la integral doble no está bien definida y la integral iterada sigue estando bien definida en algunos casos. En ese caso las dos integrales iteradas tomadas en órdenes opuestos ( $dx\,dy$ frente a $dy\,dx$ a veces se evalúan con números diferentes).