La igualdad de dos nociones de tensor de productos a través de un anillo conmutativo

Question

Deje $R$ ser un anillo (no necesariamente conmutativo), vamos a $M$ derecho $R$-módulo y deje $N$ ser una izquierda $R$-módulo. A continuación, el producto tensor $M \otimes_R N$ es un grupo abelian la satisfacción universal de la propiedad de que para cada grupo abelian $Z$ y cada bilineal mapa de $f \colon M \times N \to Z$ (que es un mapa que es aditivo en ambas variables y tal que $f(mr,n) = f(m,rn)$ ), existe un único grupo de homomorphism $f^* \colon M \otimes_R N \to Z$ tal que $f^*(m \otimes n) = f(m,n)$.

Si $R$ es conmutativa, a continuación, una $R$-estructura del módulo se puede poner en la $M \otimes_R N$. Es bastante claro que esta $R$-módulo satisface la costumbre universal de la propiedad del producto tensor de $R$-módulos: que es para cualquier $R$-módulo de $C$ y cualquier bilineal mapa de $f \colon M \times N \to C$ hay un único, $R$- lineal mapa de $f^* \colon M \otimes_R N \to C$ tal que $f^* (m \otimes n) = f(m,n)$.

Mi problema es que va la otra manera, sin embargo. Cómo puedo probar la primera característica universal de la segunda? La primera propiedad es casi un caso especial de la segunda, ya que abelian grupos se $\mathbb{Z}$- módulos, pero no puedo encontrar la manera de inducir la existencia de un mapa de $M \otimes_R N \to Z$ desde $M \otimes_R N$ no es necesariamente el producto tensor$\mathbb{Z}$$M$$N$.

Alguien me puede ayudar? Muchas gracias.

Answer 1

Deje $R$ ser un anillo conmutativo. Deje $M$ $N$ $R$- módulos. Deje $M\otimes_R N$ ser el producto tensor en el antiguo sentido. Deje $M\tilde\otimes_R N$ ser el producto tensor en el último sentido. Podemos considerar $M\otimes_R N$ $R$- módulo de una manera obvia. Entonces existe la única $R$-lineal mapa de $\psi\colon M\tilde\otimes_R N \rightarrow M\otimes_R N$ tal que $\psi(m\tilde\otimes n) = m\otimes n$.

Deje $Z$ ser un grupo abelian. Deje $f:M\times N \rightarrow Z$ ser un bilineal mapa tal que $f(rm, n) = f(m, rn)$.

Existe el único grupo homomorphism $f^* \colon M \otimes_R N \to Z$ tal que $f^*(m \otimes n) = f(m,n)$.

A continuación, $f^*\psi\colon M\tilde\otimes_R N \rightarrow Z$ es un grupo homomorphism tal que $f^*\psi(m \tilde\otimes n) = f(m,n)$. Desde el set de $m\tilde\otimes n$ genera $M\tilde\otimes_R N$ como un grupo, El uniquness de $f^*\psi$ como un grupo de homomorphism es clara.

Answer 2

[Esto responde a una cuestión planteada en los comentarios de arriba]

Deje $R$ ser (no necesariamente conmutativo) anillo y deje $M_R$ ${}_RN$ ser un derecho y un izquierdo $R$-módulo, respectivamente. Elija una presentación gratuita $$F_1\to F_0\to M\to 0$$ of $M$ as a right $R$-module, that is, a short exact equence of the form above with $F_0$ andd $F_1$ free right $R$-modules and $R$-linear maps. This amounts to writing $M$ en términos de generadores y relaciones.

Ya que el producto tensor $(\mathord-)\otimes_RN$ es un derecho functor exacto, la aplica a la secuencia anterior conserva exactacts, así que tenemos una corta secuencia exacta $$F_1\otimes_RN\to F_0\otimes_RN\to M\otimes_RN\to 0$$ This means, precisely, that $M\otimes_RN$ is the quotient of $F_0\otimes_RN$ by the (image of) $F_1\otimes_RN$.

Answer 3

Mantener un registro completo de la categórica caracterización de cosas aclara esto: en la categoría, también es $j:M\times N\rightarrow M\otimes_R N$ que es bilineal y $j(rm\times n)=j(m\times rn)$. En la categoría de $R$-módulos ($R$ conmutativa), existe el requisito adicional de que $M\otimes_R N$ $R$- módulo y que $j(rm\times n)=r\cdot j(m\times n)$.

De hecho, incluso en la categoría de abelian grupos, el más evidente es el canónico $R$-módulo de estructura en $M\otimes_R N$, es decir, que la inducida por la de $r\cdot (m\otimes n)=rm\otimes n=m\otimes rn$.

Además, dado que es un bilineal mapa de $B:M\times N\rightarrow Z$ $B(rm\times n)=B(m\times rn)$ en la categoría mayor, la inducción de la única $\mathbb Z$-lineal $\beta:M\otimes_R N\rightarrow Z$, si sucediera que los $Z$ $R$- módulo de e $B(rm\times n)=r\cdot B(m\times n)$, entonces seguramente $\beta$ $R$- lineal: $\beta(rm\otimes n)=B(rm\times n)=r\cdot B(m\times n)=r\cdot \beta(m\otimes n)$.

Edit: en respuesta a la pregunta "¿cómo poner $R$-lineal de la estructura en $Z$?", Creo que uno hace no intentar hacerlo. Más bien, si $Z$ "pasa a tener" de esta estructura, la discusión pasa a través de.

Answer 4

Deje $M\otimes_RN$ ser el producto tensor en el primer sentido (el grupo abelian de la construcción). Como usted ha señalado, $M\otimes_RN$ $R$- estructura del módulo, y es un producto tensor en el segundo sentido ($R$- módulo de construcción). Siendo un elemento universal, cualquier producto tensor en el segundo sentido, a continuación debe ser isomorfo a $M\otimes_RN$, así que debe tener la característica universal de la primera clase (el grupo abelian de la construcción).