Supongamos que tenemos una representación fiel $\rm{G}\rightarrow\rm{GL}(V)$ de un grupo algebraico lineal semisimple en un espacio vectorial complejo $\rm{V}$ de dimensión n. Supongamos que tenemos una curva algebraica proyectiva $\rm{X}$ (o simplemente una variedad algebraica proyectiva) y un $\rm{G}$ -principal haz sobre él $\pi:\rm{P}\rightarrow\rm{X}$ . Podemos construir el haz vectorial asociado $\rm{E}:=(\rm{P}\times\rm{V})/\rm{G}$ donde $\rm{G}$ actúa sobre $\rm{P}\times\rm{V}$ como: $$(p,v)\cdot g=(p\cdot g, g^{-1}(v))\text{.}$$ Se supone que existe un morfismo canónico de esquemas $$\rm{P}\rightarrow\rm{Isom}(\rm{V}\times\rm{X},\rm{E})$$ pero no puedo ver qué morfismo es. ¿Podría ayudarme? Gracias por su tiempo.
Respuesta
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La definición de $\mathrm{Isom}(V\times X, E)$ debe ser relativa a $X$ para que sea un haz en $X$ . A saber, $\mathrm{Isom}(V\times X, E) = \{(x, \phi)\;;\; x\in X, \phi: V\cong E_x\}$ . Entonces es fácil ver que $P\to \mathrm{Isom}(V\times X, E)$ debe definirse como $P\ni g\mapsto (\pi(g), (v\mapsto (g^{-1}, v))).$
