¿La probabilidad de ser diagnosticado seropositivo dada la prueba positiva depende de la tasa de incidencia (p)?

Question

Después de ver este ejemplo Tengo una duda. ¿La probabilidad de ser diagnosticado VIH positivo dada la lectura positiva del ELISA depende de la tasa de incidencia (p)? ¿Por qué debería serlo?

$$P(\text{HIV positive }| \text{ positive ELISA reading}) = \frac{p\times.977} {p\times.977 + (1-p)\times.074}$$

p <- c(.003, .005, .01, .05, .10, .2, .3, .4 , .5)
prob <- p*.977 / (p*.977 + (1-p)*.074)

round(cbind(p,prob),3)

          p  prob
 [1,] 0.003 0.038
 [2,] 0.005 0.062
 [3,] 0.010 0.118
 [4,] 0.050 0.410
 [5,] 0.100 0.595
 [6,] 0.200 0.767
 [7,] 0.300 0.850
 [8,] 0.400 0.898
 [9,] 0.500 0.930

Answer 1

Si estoy interpretando correctamente su pregunta, entonces sí, la probabilidad de tener realmente el VIH dado que se obtiene un resultado positivo en la prueba ELISA para el VIH depende de la tasa de incidencia del VIH en la población.

Esto ocurre debido a los falsos negativos y a los falsos positivos. Ninguna prueba es perfecta, y a veces dirá que eres negativo cuando en realidad eres positivo, mientras que otras veces dirá que eres positivo cuando en realidad eres negativo.

Si el resultado de la prueba Elisa es positivo, existen dos posibilidades: o bien es positivo (probabilidad $p$ ) y la prueba es exacta (probabilidad $.977$ en su ejemplo), o es negativa (probabilidad $1-p$ ) y la prueba da un falso positivo (probabilidad $1-.926=.074$ en su ejemplo).

Así que $P(\text{positive ELISA}) = .977p + .074(1-p)$ .

Si $p$ es realmente pequeño, entonces es mucho más probable que haya obtenido un falso positivo (suponiendo que haya sido seleccionado al azar para la prueba). Como $p$ aumenta, es más probable que padezca la enfermedad y que el resultado de la prueba sea exacto.

He aquí un experimento mental que te ayudará a entenderlo. Coge 100 trozos de papel y marca un $x$ en uno de ellos para indicar una persona con una enfermedad. Consigue una moneda para simular una prueba con una tasa de precisión del 50% (el 50% de las veces saldrá cara, indicando la presencia de la enfermedad, y el 50% de las veces saldrá cruz, indicando que no hay enfermedad). Ahora, selecciona al azar uno de los trozos de papel y lanza la moneda. Si sale cara, ¿qué es más probable: que haya elegido el papel con $x$ en él y la prueba era exacta o elegí uno de los 99 papeles sin un $x$ ¿y la prueba era inexacta?

Haga lo mismo pero con 99 papeles con $x$ en ellos y 1 sin ellos.

Como nota al margen, esta es una de las razones por las que los médicos no suelen someter indiscriminadamente a sus pacientes a las pruebas del VIH (o a las pruebas de otras enfermedades raras). Es mucho más probable que un paciente al azar no tenga la enfermedad y obtenga un falso positivo que tener la enfermedad y obtener un verdadero positivo. Los médicos primero identifican a un paciente como de "alto riesgo" y, por tanto, con muchas más probabilidades de tener la enfermedad en cuestión, y LUEGO le hacen hacerse la prueba.

Answer 2

Sí.

La probabilidad de ser un verdadero positivo dada una prueba verdadera se conoce como "valor predictivo positivo" (VPP). La fórmula que ha proporcionado más arriba es una forma específica de la fórmula más general del VPP:

$$PPV= \frac{prevalence\times sensitivity} {prevalence\times sensitivity + (1-prevalence)\times(1-specificity)}$$

Esencialmente, cuanto menor es la prevalencia de la enfermedad, más probable es que cualquier prueba positiva sea un falso positivo. Creo que la forma más fácil de conceptualizar esto es pensar en los extremos: si sólo hay una persona infectada por una enfermedad en todo el mundo, habrá un gran número de falsos positivos, por lo que la probabilidad de que un resultado positivo signifique que estás infectado será muy pequeña. Del mismo modo, si casi todo el mundo está infectado, un resultado positivo es muy indicativo de una infección real.