¿Cuál es el significado geométrico de una matriz de 3x3 que tiene los tres valores propios como cero? Tengo interpretaciones en mente para 0, 1, y 2 valores propios siendo cero, pero ¿qué pasa con todos ellos?
Respuestas
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Geométricamente, tener uno o más valores propios de cero significa simplemente que el espacio nulo no es trivial, de modo que la imagen se "aplasta" un poco, ya que es de dimensión inferior.
Aparte del caso obvio de tener exactamente un valor propio 0, no hay forma de predecir la dimensión del espacio nulo sólo a partir del número de valores propios cero. Sin embargo, la dimensión del espacio nulo está limitada por la multiplicidad de valores propios cero.
Por ejemplo, como se menciona en los comentarios, las matrices con todos los valores propios 0 son las matrices nilpotentes, y éstas pueden tener un rango comprendido entre $0$ y $n-1$
merkuro
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Si 0 es un valor propio, el espacio nulo no es trivial y la matriz no es invertible. Por lo tanto, todas las afirmaciones equivalentes dadas por la teorema de la matriz invertible que sólo se aplican a matrices invertibles son falsas.
