Estoy leyendo el libro de texto de Schilling, 'Brownian Motion: Una introducción a los procesos estocásticos (2ª ed.)'.
No he encontrado la forma de demostrar (6.5a) en la página 61.
Según el libro de texto, para un $ \mathbb{R}^d $ -proceso estocástico filtrado $ (X_t, \mathcal{F}_t)_{t \geq 0} $ el proceso se denomina proceso de Markov homogéneo si se cumple lo siguiente.
Para todo $ \mathfrak{B}(\mathbb{R}^d) / \mathfrak{B}(\mathbb{R})$ -mapa medible $u$ y $t, s \geq 0$ existe una función medible $g_{u, t}: \mathbb{R}^d \to \mathbb{R}$ que sólo depende de $u$ y $t$ para que $$ \mathbb{E}\left[ u(X_{t+s}) | \mathcal{F}_s \right] = \mathbb{E} \left[ u(X_{t+s}) | X_s \right] = \mathbb{E}^{X_s} \left[ u(X_t) \right] $$ donde $ \mathbb{E}^x [u(X_t)] := g_{u, t}(x)$ .
El libro afirma que utilizando la técnica estándar de la teoría de la medida, se puede demostrar que (6.5a) se cumple. $$ \mathbb{E} \left[ \Psi(X_{\cdot+s}) | \mathcal{F}_s \right] = \mathbb{E} \left[ \Psi(X_{\cdot+s}) | X_s \right] = \mathbb{E}^{X_s} \left[ \Psi(X_\cdot) \right] $$ para todas las funciones medibles acotadas $\Psi: \mathcal{C}([0, \infty)) \to \mathbb{R}$ .
Creo que en este libro, Borel $\sigma$ -de $\mathcal{C}([0, \infty))$ debe ser la inducida por la topología de convergencia localmente uniforme (con la métrica $\rho(f, g) = \sum_{n=1}^\infty \left( 1 \wedge \sup_{0 \leq t \leq n} |f(t) - g(t)| \right) 2^{-n}$ .)
Así que intenté proceder probándolo primero cuando $\Psi$ es una función indicadora, luego una función simple. Finalmente probarlo para casos generales pasando al límite. Pero me he atascado en el primer paso.
Mis preguntas son (1) ¿Estoy pensando de forma correcta sobre la $\sigma$ -de $\mathcal{C}([0, \infty))$ ¿aquí? (2) ¿Alguna pista o idea para demostrar (6.5a) en el caso de una función indicadora?
