¿Qué es la parametrización?

Question

Estoy luchando con el concepto de parametrización de curvas. Ni siquiera estoy seguro de saber lo que significa, así que he intentado buscar algunas cosas.

En Wikipedia dice:

La parametrización es... el proceso de hallar ecuaciones paramétricas de una curva, una superficie o, más en general, un múltiple o una variedad, definidas por una ecuación implícita. El proceso inverso se denomina implicitización.

Como no sabía lo que era una ecuación paramétrica también lo busqué:

En matemáticas, las ecuaciones paramétricas de una curva expresan las coordenadas de los puntos de la curva como funciones de una variable, llamada parámetro. Por ejemplo,

\begin{align} x&=\cos t\\ y&=\sin t \end{align} .

Entonces, ¿tengo una curva y quiero inventar una ecuación que describa esa curva? ¿Pero esto no se vuelve muy difícil si no tienes círculos simples o espirales?

Quizá alguien pueda explicarme qué está pasando aquí.

Gracias de antemano.

Answer 1

A menudo una curva $\gamma$ en el plano se define como el conjunto de puntos $(x,y)$ que satisfaga una determinada condición geométrica o algebraica. Por ejemplo $$\gamma:=\bigl\{(x,y)\>\bigm|\>{x^2\over a^2}+{y^2\over b^2}=1\bigr\}\ ,\tag{1}$$ donde los valores de $a>0$ y $b>0$ se dan. Dicha descripción es implícito ; sólo proporciona una prueba rápida de si un punto de prueba $(x,y)$ está tumbado en $\gamma$ o no.

Cuando realmente queremos analizar geométricamente la curva $\gamma$ lo que significa calcular su longitud o el área encerrada, etc., entonces necesitamos un representación paramétrica . Se trata de un esquema de producción que produce todos los puntos de $\gamma$ de forma sistemática y analíticamente manejable. De este modo, los puntos de la curva $\gamma$ en $(1)$ son producidos por la función vectorial $$t\mapsto\left\{\eqalign{x(t)&:=a\cos t\cr y(t)&:=b\sin t\cr}\right.\qquad(0\leq t\leq 2\pi)\tag{2}$$ en un $1:1$ manera, por la cual $t=0$ y $t=2\pi$ producen el mismo punto.

Dado que una representación implícita de una curva $\gamma: \>F(x,y)=0$ no determina una representación paramétrica (un "calendario") $t\mapsto\bigl(x(t),y(t)\bigr)\>$ de manera única hay ningún procedimiento automático (como la multiplicación de dos polinomios o el cálculo de una derivada) que genera una representación paramétrica a partir de una ecuación. $F(x,y)=0$ de ahí que se pida experiencia e intuición. A veces se puede resolver una ecuación de este tipo para $y$ y obtener una representación como gráfico de la forma $x\mapsto\bigl(x, y(x)\bigr)\>$ .

El siguiente ejemplo muestra que se trata de matemáticas profundas: La ecuación de aspecto inocente $x^2+y^2=1$ determina una curva $\gamma$ que encierra un área de $\pi$ y cuya longitud es $2\pi$ .