¿Es natural que $\overline{\int f}=\int\bar f$ ?

Question

¿Es natural que $$\overline{\int f}=\int\bar f\ \ ?$$

Intenté probarlo, pero sin éxito.

Answer 1

Es habitual definir la integral de una función de valor complejo (en $\mathbb{R}^n$ ) mediante la consideración de su parte real e imaginaria.

Esto es para $f = u + i v$ se define $\int f = \int u + i \int v$ (y $f$ es integrable si $u,v$ son integrables).

Entonces la pregunta se reduce a $\int (-v) = -\int v$ que es una propiedad bien conocida de la integral (real).

Answer 2

No, una integral no es una integral. En concreto, el hecho de que $f$ está en $L^2$ le proporciona la información que $$\int f\bar g=:\left< f,g\right>,$$ es un producto escalar y, por tanto, que $$\overline{\int f}=\overline{\left<f,1\right>}=\left<1,f\right>=\int \bar f.$$