Demostrar $G$ es abelian si $f(f(x)) = x$?

Question

Deje $G$ ser un grupo finito y $f$ un automorphism tal que

1. $f(f(x)) = x$, y

2. $f(x) = x$ si y sólo si $x=e$.

Demostrar que $G$ es abelian y $f(x) = x^{-1}$.

Mi intento:

Desde $f(f(x)) = x$, podemos dividir los elementos de $G$ (excepto los de correo) en pares de $(a,b)$ tal que $f(a)=b$$f(b)=a$. Por lo $G$ ha extraña orden. Qué hacer a continuación.. Gracias de antemano por las sugerencias.

Answer 1

El mapa $h : G \to G$, $h(x) = f(x) x^{-1}$ es inyectiva, ya que el único punto fijo de $f$$e$. Así que es inyectiva, y por lo tanto surjective porque $G$ es finito. Así que usted puede escribir cualquier $y \in G$$y = h(x) = f(x) x^{-1}$. Pero, a continuación, $$f(y) = f(f(x)) f(x)^{-1} = x f(x)^{-1} = \left( f(x) x^{-1} \right)^{-1} = y^{-1}$$

Y esto para todos los $y \in G$. Ahora es un estándar bajo el argumento de que si $f(x) = x^{-1}$ es un homomorphism, el grupo abelian: $xy = (y^{-1} x^{-1})^{-1} = (y^{-1})^{-1} (x^{-1})^{-1} = yx$.