$xyz = \frac{7}{16}\left(\frac{2x - y - z}{3}\right)^3$ en enteros no evanescentes

Question

A partir de una investigación completamente ajena a la Teoría de Números me topé con la siguiente ecuación:

$$ xyz = \frac{7}{16}\left(\frac{2x - y - z}{3}\right)^3 $$

para $x, y, z$ enteros, $x,y,z \neq 0$ . ¿Existen enteros no evanescentes que la satisfagan (hay muchas soluciones si una de ellas es cero)?

Answer 1

No. Esto puede verificarse mediante el siguiente código Magma, que puede utilizarse en la aplicación Calculadora Magma en línea gratuita :

P<x,y,z>:=ProjectiveSpace(Rationals(),2);
C:=Curve(P,x*y*z-7/16*((2*x-y-z)/3)^3);
E:=EllipticCurve(C);
MordellWeilGroup(E);

que produce

Abelian Group isomorphic to Z/3
Defined on 1 generator
Relations:
    3*$.1 = 0

Esto demuestra que, cuando la ecuación dada se ve como una curva en $\mathbf{P}^2$ tiene exactamente tres puntos racionales. Se puede utilizar Magma para calcular automáticamente estos tres puntos, o simplemente observar que obviamente hay tres puntos racionales con $xyz=0$ .