Estoy discutiendo con alguien en Internet sobre el tema de la función delta de Dirac. Esta otra persona quiere decir:
$$\delta (x) = \begin{cases} 0 & : x \ne 0 \\ \infty & : x = 0 \end{cases}$$
y quiere justificarlo diciendo:
Lo tenemos:
$$\delta (x) = \lim_{\epsilon \mathop \to 0} F_\epsilon (x)$$
donde:
$$F_\epsilon (x) = \begin {cases} 0 & : x < -\epsilon \\ \dfrac 1 {2 \epsilon} & : -\epsilon \le x \le \epsilon \\ 0 & : x > \epsilon \end {cases}$$
Por lo tanto:
$$\delta (0) = \lim_{\epsilon \mathop \to 0} F_\epsilon (0) = \dfrac 1 {2 \times 0} = \infty$$
y:
$$ \delta {x \ne 0} = \lim_{\epsilon \mathop \to 0} F_\epsilon (x \ne 0) = 0$$
Por lo tanto:
$$\delta (x) = \begin{cases} 0 & : x \ne 0 \\ \infty & : x = 0 \end{cases}$$
Esto me parece dudoso. No confío en $\delta (0) = \infty$ ya que no está bien definido exactamente qué $\infty$ en realidad significa en este contexto, mientras que en realidad $\delta$ se define con precisión mediante la definición de límite que se ha dado anteriormente.
Yo también tengo serias dudas al respecto $\dfrac 1 {2 \times 0}$ en medio de la exposición, que en el mejor de los casos carece de sentido y en el peor es una mentira blasfema.
Sin embargo, cuando consulto una serie de obras matemáticas en mis estanterías y en línea, hay muchas de ellas que dan esa definición anterior con bastante ligereza, a lo largo de las líneas "Como consecuencia obvia de la definición: $\delta (0) = \infty$ "o similar. Otras obras ponen en cursiva la advertencia de que $\delta$ no es una función, y $\delta (0)$ no está definido.
¿Cuál es el modo de pensamiento actual aquí? Estoy intentando crear un conjunto de páginas web que sean matemáticamente rigurosas, pero mis compañeros de trabajo en el mismo sitio piensan que "en realidad no importa, todos sabemos más o menos lo que queremos decir, y oye", $\delta (0) = \infty$ parece muy chulo".
Cuando se le cuestiona el asunto, está dispuesto a transigir y decir: $\delta (0) \to \infty$ como $x \to 0$ o incluso:
$$\delta (x) = \begin{cases} 0 & : x \ne 0 \\ \to \infty & : x = 0 \end{cases}$$
No soy lo suficientemente sofisticado matemáticamente como para poder explicar por qué Odio este planteamiento, pero me desagrada mucho que se utilice el término $\infty$ cuando (una vez superado el significado intuitivo obvio que aprendemos en la escuela primaria) realmente no entendemos lo que significa.
EDITAR:
Tal y como me han pedido, he desenterrado uno de mis textos en el que se define la función delta como el límite de la función rectángulo a medida que su anchura llega a cero, de la siguiente manera. Viene de I.N. Sneddon "Special Functions of Mathematical Physics and Chemistry", apéndice.
Si consideramos la función $$\delta_a (x) = \begin {cases} 0 & : |x| > a \\ \dfrac 1 {2 a} & : |x| < a \end {cases}$$ entonces se demuestra fácilmente que $$\int_{-\infty}^\infty \delta_a(x) d x = 1.$$
...
Ahora definimos $$\delta(x) = \lim_{a \to 0} \delta_a (x).$$ Dejar $a$ tienden a cero en las ecuaciones [anteriores] vemos que $\delta(x)$ satisface las relaciones $\delta(x) = 0$ si $x = 0$ $$\int_{-\infty}^\infty \delta (x) d x = 1.$$
