Débil* Topología más gruesa que la topología de convergencia uniforme en conjuntos compactos

Question

Sea $E$ sea un espacio topológico localmente convexo. ¿Es el débil $^*$ -en su espacio topológico dual $\sigma(E', E)$ más gruesa que la topología de convergencia uniforme en conjuntos compactos?

Sé que la topología de convergencia uniforme en conjuntos compactos $\tau_c$ es inducida por la familia $(p_S)_{S \in \mathcal S}$ de seminormales $p_S:f \mapsto \sup_{x \in S} f(x)$ donde $\mathcal S$ denota el conjunto de todos los subconjuntos compactos de $E$ . ¿Puedo elegir un conjunto similar para los débiles $^*$ -¿topología? ¿Tal vez todos los conjuntos únicos?

Answer 1

Sí. $\sigma(E^*,E)$ viene determinada por los seminormales del mapa de evaluación $$\{(f\mapsto|f(x)|):x\in E\}$$ Se trata de un subconjunto estricto de las seminormas para la topología compacta-abierta, ya que cada $\{x\}\in\mathcal{S}$ y $$\sup_{y\in\{x\}}{|f(y)|}=|f(x)|$$