Demuéstralo o pon un contraejemplo: $\forall x \exists y(Q(y)\wedge P(x))\vDash \exists y\forall x(Q(y)\wedge P(x))$

Question

Demuéstralo o pon un contraejemplo: $\forall x \exists y(Q(y)\wedge P(x))\vDash \exists y\forall x(Q(y)\wedge P(x))$

Creo que esta afirmación es cierta:

$x$ y $y$ no son libres, por lo que puedo utilizar las siguientes equivalencias lógicas: $$\forall x(\alpha \vee \beta) \equiv \alpha \vee \forall x(\beta)$$ $$\exists x(\alpha \vee \beta) \equiv \alpha \vee \exists x(\beta)$$

$\forall x\exists y(Q(y)\wedge P(x))\Rightarrow\exists y(Q(y)\wedge\forall xP(x)) \Rightarrow \exists y(\forall xP(x)\wedge Q(y))\Rightarrow\forall xP(x)\wedge \exists yQ(y) \Rightarrow\exists y(\forall xP(x)\wedge Q(y))\Rightarrow\exists y( Q(y)\wedge\forall xP(x))\Rightarrow\exists y(\forall x( Q(y)\wedge P(x)))$

$\mathbf{\Rightarrow\exists y\forall x( Q(y)\wedge P(x))}$

$$$$ ¿Lo he entendido bien? Gracias.

Answer 1

Tu primer paso:

$$\forall x\exists y(Q(y)\wedge P(x))\Rightarrow\exists y(Q(y)\wedge\forall xP(x))$$

es no un caso de los dos principios de equivalencia que menciona, ya que el $\exists$ está entre el $\forall$ y el $\land$

Lo que puedes hacer en su lugar es:

$$\forall x\exists y(Q(y)\wedge P(x))\Leftrightarrow \forall x\exists y(P(x)\wedge Q(y))\Leftrightarrow\forall x (P(x)\wedge \exists yQ(y))$$

e ir desde allí

(De hecho, fíjate en que tus pasos 3 y 5, así como 2 y 6, son idénticos... ¡eso debería haberte dicho que algo iba mal!)