En $ATT$ , $ATC$ y $ATE$ son todos los efectos medios del tratamiento promediados sobre un grupo objetivo de individuos. La idea es que cada persona tiene un efecto del tratamiento individual y un efecto medio del tratamiento es la media de los efectos individuales del tratamiento en todos los individuos de la población objetivo/muestra. Los efectos del tratamiento individual varían entre sí cuando el efecto del tratamiento depende de las cualidades del individuo, por ejemplo, $X$ y diferentes individuos tienen diferentes valores de $X$ . Esta circunstancia se conoce como heterogeneidad del efecto del tratamiento basada en $X$ . Por ejemplo, puede ocurrir que un medicamento funcione mejor en los jóvenes que en los ancianos; existe una heterogeneidad del efecto del tratamiento en función de la edad.
Cuando existe heterogeneidad del efecto del tratamiento basada en $X$ el efecto medio del tratamiento para un grupo determinado depende de la distribución de $X$ en ese grupo. Volviendo al ejemplo, el efecto medio del medicamento será mayor para un grupo de personas jóvenes que para un grupo de personas mayores. Cuando el grupo tratado y el grupo de control tienen diferentes distribuciones de $X$ el efecto medio del tratamiento entre los tratados ( $ATT$ ) diferirá del efecto medio del tratamiento entre los controles ( $ATC$ ), y ambos diferirán del efecto medio del tratamiento en toda la muestra ( $ATE$ ). Los grupos tratado y de control tendrán diferentes distribuciones de $X$ sólo cuando el tratamiento dependa de $X$ o un correlato de $X$ lo que no ocurre en un experimento aleatorizado, en el que las distribuciones de todas las covariables, incluida $X$ son los mismos entre los tratados y los de control.
En el emparejamiento descrito por Stuart (2010) y Ho, Imai, King y Stuart (2007) e implementado en el paquete R MatchIt se recupera el $ATT$ si sólo se podan las unidades de control y no se eliminan las unidades tratadas. Esto se debe a que la distribución de las covariables en el grupo de control emparejado es la misma que la distribución de las covariables en el grupo tratado original, por lo que la distribución de los efectos individuales del tratamiento será la del grupo tratado. Sin embargo, es posible estimar el $ATE$ mediante emparejamiento, descrito por Abadie e Imbens (2006) e implementado en el paquete R Matching . En este método, la distribución de las covariables en la muestra emparejada es similar a la de la muestra original.
Tenga en cuenta que la inconfundibilidad y la declaración de independencia condicional que escribió son una propiedad del sistema causal, no de una muestra (emparejada o no). Es una afirmación que dice que es posible para extraer un efecto causal a partir de los datos observados. No es una descripción de una muestra después del emparejamiento. Si esa afirmación es cierta sobre el sistema causal, entonces cualquiera de los diversos estimadores (incluidos el emparejamiento, la ponderación, la regresión, etc.) tiene la potencial para estimar el efecto causal sin sesgo.
En resumen, el efecto medio del tratamiento en todos los grupos diferirá cuando la distribución de los efectos individuales del tratamiento varíe entre los grupos, lo que ocurre cuando los efectos individuales del tratamiento dependen de covariables y la distribución de esas covariables varía entre los grupos. La dirección $ATT$ y $ATC$ diferirán cuando la distribución de las covariables difiera entre el tratado y el control, lo que ocurre en ausencia de aleatorización.
Abadie, A., & Imbens, G. W. (2006). Large Sample Properties of Matching Estimators for Average Treatment Effects. Econometrica, 74(1), 235-267. https://doi.org/10.1111/j.1468-0262.2006.00655.x
Ho, D. E., Imai, K., King, G. y Stuart, E. A. (2007). Matching as Nonparametric Preprocessing for Reducing Model Dependence in Parametric Causal Inference. Political Analysis, 15(3), 199-236. https://doi.org/10.1093/pan/mpl013
Stuart, E. A. (2010). Matching Methods for Causal Inference: A Review and a Look Forward. Statistical Science, 25(1), 1-21. https://doi.org/10.1214/09-STS313
