Ecuación diferencial $y'' - y + 2\sin(x)=0$

Question

Necesito ayuda y explicación con esta ecuación diferencial. En realidad no se como resolver solo este tipo de ecuaciones. Así que el problema: $$y'' - y + 2\sin(x)=0$$ En mi opinión en primer lugar resolvemos la ecuación homogénea $y''-y=0$ y su solución es $y=c_1e^x+c_2e^{-x}$ . Y después resolverlo con $2\sin(x)$ . A partir de este punto necesito ayuda.

Answer 1

En este caso hay una respuesta sencilla. Basta con adivinar que $\sin\, x$ es una solución particular por lo que la solución general es $c_1e^{x}+c_2e^{-x}+\sin\, x$ . En general hay que utilizar el método de variación de parámetros. (Una búsqueda en Wikipedia será útil).

Answer 2

Sea $u=y+k\sin x$ . Entonces $u''=y''-k\sin x$ .

Así que.., $y''-y+2\sin x=u''+k\sin x-u+k\sin x+2\sin x=0$

En particular, si $k=-1$ entonces $u''-u=0$ .

Answer 3

Resuelve primero la ecuación $$y''(x)-y(x)=0$$ mediante el ansatz $$y=e^{\lambda x}$$ y para la solución pariculada hacer el ansatz $$y_p=A\sin(x)$$ Para tu trabajo: la solución viene dada por $$y=C_1e^{-x}+C_2e^x+\sin(x)$$

Answer 4

La ecuación diferencial dada es

$y'' - y + 2\sin\ x=0$ $\implies y'' - y =- 2\sin x \implies (D^2 -1)y=- 2\sin x$

donde $D \equiv \frac{d}{dx} $

Creo que ya tienes una idea de cómo encontrar la Función Complementaria (es decir, F.C.), (para tu caso, que no es otra cosa que la solución de la ecuación diferencial homogénea $y'' - y =0$ ).

Aquí C.F. es $c_1e^{x}+c_2e^{-x}$ .

Ahora, para la Integral Particular (es decir, I.P.) existen algunas reglas generales

Si $f(D)$ puede expresarse como $\phi(D^2)$ y $\phi(-a^2)\neq 0$ entonces

$1.$ $\frac{1}{f(D)} \sin ax=\frac{1}{\phi(D^2)} \sin ax = \frac{1}{\phi(-a^2)} \sin ax$

$2.$ $\frac{1}{f(D)} \cos ax=\frac{1}{\phi(D^2)} \cos ax = \frac{1}{\phi(-a^2)} \cos ax$

Nota: Si $f(D)$ puede expresarse como $\phi(D^2)=D^2+a^2$ entonces $\phi(-a^2)= 0$ .

$1.$ $\frac{1}{f(D)} \sin ax =\frac{1}{\phi(D^2)} \sin ax=x\frac{1}{\phi'(D^2)} \sin ax= x \frac{1}{2D} \sin ax= -\frac{x}{2a} \cos ax$ .

$2.$ $\frac{1}{f(D)} \cos ax =\frac{1}{\phi(D^2)} \cos ax=x\frac{1}{\phi'(D^2)} \cos ax= x \frac{1}{2D} \cos ax= \frac{x}{2a} \sin ax$ .

donde $\phi'(D^2)\equiv\frac{d}{dD}\phi(D^2)$

Así que para su problema, P.I. es $\frac{1}{D^2 -1} (-2\sin x)=-2[\frac{1}{-1^2 -1} \sin x]= \sin x$

Por lo tanto, la solución general es $y=$ C.F. $+$ P.I. $ = c_1e^{x}+c_2e^{-x}+\sin\, x$

Answer 5

Pista:

Puede utilizar ese $\sin x\propto e^{ix}-e^{-ix},$ y para cualquier función $y=ae^{bx}$ ,

$$y''-y=a(b^2-1)e^{bx}.$$