¿El grupo de Galois del producto de dos campos es el producto de grupos de Galois?

Question

Me pregunto si el siguiente teorema es razonable y si la prueba tiene sentido o no. También tengo una aplicación de la misma que estaba tratando de hacer antes, pero hice un montón de errores, así que estaría muy agradecido si alguien diera algunos comentarios sobre esto en caso de que tengo algunos malentendidos muy fuertes sobre la teoría de Galois.

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Teorema Dejemos que $E_1$ y $E_2$ sean extensiones de campo de Galois de $F$ con intersección trivial ( $E_1 \cap E_2 = F$ ), entonces $E_1 E_2$ tiene grupo de Galois $\text{Gal}(E_1/F) \times \text{Gal}(E_2/F)$ .

Prueba

• $E_1$ y $E_2$ son campos de división (sobre $F$ ) de algunos polinomios $f_1$ y $f_2$ así que $E_1 E_2$ es el campo de división de $f_1 f_2$ en $F$ y por lo tanto es Galois y se justifica el uso de la notación "Gal".

• Dejemos que $\sigma_1 \in \text{Gal}(E_1/F)$ y $\sigma_2 \in \text{Gal}(E_2/F)$ entonces por el teorema fundamental de la teoría de Galois podemos elevar ambos a elementos de $\text{Gal}(E_1 E_2/F)$ . La afirmación es que $\sigma_1 \sigma_2 = \sigma_2 \sigma_1$ para ver esto considera un elemento $\alpha \in E_1$ tenemos ambos $\sigma_2 \alpha = \alpha$ y $\sigma_2 \sigma_1 \alpha = \sigma_1 \alpha$ porque es invariante con respecto a $\sigma_2$ pero podemos combinar estas igualdades para obtener $\sigma_1 \sigma_2 \alpha = \sigma_2 \sigma_1 \alpha$ .

• Ambos grupos $\text{Gal}(E_i/F)$ ( $i = 1,2$ ) se incluyen en $\text{Gal}(E_1 E_2/F)$ y los grados dicen que no hay más elementos, además como conmutan podemos concluir $\text{Gal}(E_1 E_2/F) = \text{Gal}(E_1/F) \times \text{Gal}(E_2/F)$ .

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Así que esperemos que ese teorema sea, si no correcto, subsanable.. y se pueda utilizar para demostrar que $\mathbb Q (\sqrt{a_1},\sqrt{a_2},\cdots,\sqrt{a_n})$ tiene grupo de Galois $C_2^m$ ( $m \le n$ ) sobre $\mathbb Q$ ?

Answer 1

Sí, su teorema y su demostración son correctos. Esto es El teorema 1.14 del capítulo 6 de la obra de Lang Álgebra .

Su solicitud de $\mathbb{Q}(\sqrt{a_1},\ldots,\sqrt{a_n})$ también es correcto - aplicando el Teorema 1.14 repetidamente, se obtiene que $\text{Gal}(\mathbb{Q}(\sqrt{a_1},\ldots,\sqrt{a_n})/\mathbb{Q})$ inyecta en $\prod_{i=1}^n\text{Gal}(\mathbb{Q}(\sqrt{a_i})/\mathbb{Q})\cong C_2^n$ .

Answer 2

El término que busca es compositum . Si $K$ es un campo y $E_1, E_2 \subset \bar{K}$ son dos extensiones de $K$ , entonces su compositum $E_1 E_2$ es el subcampo de $\bar{K}$ generado por $E_1$ y $E_2$ . Tenga en cuenta que, a menos que $E_1, E_2$ son extensiones normales el compositum no está especificado de forma única por lo que $E_1, E_2$ como extensiones abstractas; realmente hay que especificar una incrustación en algún campo mayor, que bien podría ser el cierre algebraico de las extensiones algebraicas.

El compositum de una extensión de Galois y otra extensión es de Galois, por lo que en particular si $E_1, E_2$ son ambos Galois, entonces $E_1 E_2$ es Galois. Ahora hay una incrustación obvia $\text{Gal}(E_1 E_2 / K) \to \text{Gal}(E_1 / K) \times \text{Gal}(E_2 / K)$ cuya imagen es precisamente el subgrupo de elementos que fijan $E_1 \cap E_2$ (que también es Galois). Cuando $E_1 \cap E_2 = K$ la conclusión es la siguiente.