¿Tienen que ser simétricas las matrices semidefinidas positivas? ¿Se puede tener una matriz no simétrica que sea definida positiva? No consigo entender por qué no se podría tener una matriz así, pero en todos mis apuntes se especifica que las matrices definidas positivas son "simétricas". $n \times n$ matrices".
¿Puede alguien ayudarme con un ejemplo de matriz positiva definida no simétrica, o con alguna prueba de por qué tendría que ser simétrica si ese fuera el caso? Gracias.
No, pero las matrices simétricas definidas positivas tienen muy buenas propiedades, por eso aparecen a menudo.
Un ejemplo de matriz positiva definida no simétrica es $$M=\pmatrix{2&0\\2&2}.$$ En efecto, $$\pmatrix{x\\y}^T\pmatrix{2&0\\2&2}\pmatrix{x\\y} = (x+y)^2 + x^2 + y^2$$ que es estrictamente mayor que $0$ siempre que el vector sea distinto de cero.
Como menciona Daniel en su respuesta, hay ejemplos, sobre los reales, de matrices que son definidas positivas pero no simétricas. Sin embargo, la utilidad de la noción de definida positiva surge cuando la matriz también es simétrica, ya que entonces se puede obtener información muy explícita sobre los valores propios, la descomposición espectral, etc.
En el caso complejo, cualquier matriz definida positivamente es autoadjunta.
Permítanme añadir que existe una rama de la optimización y el análisis variacional en la que la noción de matriz definida no negativa no simétrica es fundamental. Consideremos una función convexa suave; por convexidad, su hessiano es definido positivo no negativo y, por el teorema de Schwarz, también es simétrico. Sin embargo, existen "operadores no gradientes", es decir, que no se integran en una función pero que poseen una noción de convexidad. Se trata de un operador monótono cuyo jacobiano, en el caso suave, es una matriz definida no negativa que puede no ser simétrica.
De hecho, la forma cuadrática definida positiva/semipositiva puede reducirse a una matriz simétrica definida positiva/semipositiva. Supongamos $A$ sea una matriz no asimétrica definida positiva o semidefinida positiva. Entonces $$ x^TAx=x^T\left(\frac{A+A^T}{2}+\frac{A-A^T}{2}\right)x=x^T\left(\frac{A+A^T}{2}\right)x+x^T\left(\frac{A-A^T}{2}\right)x=x^T\left(\frac{A+A^T}{2}\right)x $$ para $(A-A^T)/2$ es asimétrico y siempre se cumple que $$ x^T\left(\frac{A-A^T}{2}\right)x=0 $$ Como hemos $$ x^T\left(\frac{A-A^T}{2}\right)x=\left(x^T\left(\frac{A-A^T}{2}\right)x\right)^T=x^T\left(\frac{A-A^T}{2}\right)^Tx=-x^T\left(\frac{A-A^T}{2}\right)x $$ Así $(A+A^T)/2$ es positiva/semipositiva definida si y sólo si $A$ es positiva/semidefinida positiva. También $(A+A^T)/2$ es simétrica.
Por lo tanto, la matriz definida positiva/semi-positiva puede considerarse siempre simétrica.
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