Teorema de Bezout para menos de n polinomios

Question

La formulación de Wikipedia del teorema de Bezout afirma que el número de puntos de intersección con multiplicidad de n polinomios homogéneos en n + 1 indeterminados sin componentes comunes es el producto de los grados de los polinomios en el espacio proyectivo complejo.

¿Qué implica este teorema para n - 1 polinomios en n + 1 indeterminados? Estoy particularmente interesado en la intersección de un deg 1 y un deg 2 polinomios homogéneos en cuatro variables.

Agradecería cualquier respuesta o referencia.

Answer 1

La cuestión es que $n-1$ polinomios homogéneos (generales) en $n+1$ variables no se intersecarán para dar unos puntos sino para dar una curva proyectiva. Se pueden decir muchas cosas sobre esta curva (es una intersección completa en un espacio proyectivo), por ejemplo, se puede calcular su género (véase la sección fórmula de adjunción ) dados los grados de los polinomios pero las curvas tienen una estructura interna complicada y por lo tanto no tienen una descripción directa como ''hay exactamente N puntos''.