Momento de inercia de la elipse alrededor del eje x

Question

¿Cómo puedo calcular el momento de inercia de una elipse ( $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ ) utilizando coordenadas polares y la fórmula: $$I_x=\int_\Omega y^2dx dy$$

Sé que el resultado se supone que es $I_x=\frac{\pi a b^3}{4}$ ( $b$ correspondiente al semieje en el $y$ coordenada), pero no consigo derivarlo.

PD: He leído otros posts sobre este tema pero ninguno que haya encontrado hasta ahora utiliza coordenadas polares para llegar a la respuesta.

Answer 1

Puede parametrizar su elipse mediante $$ x=ar\cos t,\ \ \ y=br\sin t,\ \ \ t\in[0,2\pi],\ \ \ r\in[0,1]. $$ El jacobiano es $$ \begin{vmatrix} a\cos t& b\sin t\\ -ar\sin t& br\cos t\end{vmatrix}=abr. $$ Así que $$ I_x=\int_{\Omega}y^2\,dx\,dx=\int_0^1\int_0^{2\pi}b^2r^2\sin^2t\,abr\,dt\,dr=\pi ab^3\int_0^1r^3\,dr=\frac{\pi a b^3}4. $$