Demuestre que la función de Urysohn de dos conjuntos cerrados $F$ y $G$ con $d(F,G)>0$ es uniformemente continua.

Question

Sea $(X,d)$ es un espacio métrico, $F$ y $G$ dos conjuntos cerrados de $X$ . Si $d(F,G)>0$ entonces tengo que demostrar que la función Urysohn $f$ definido a partir de $X$ a $[0,1]$ es uniformemente continua, donde la función de Urysohn es $$ f(x) = \frac{d(x,F)}{d(x,F)+d(x,G)}, \qquad x\in X. $$

Answer 1

Para facilitar la notación, escribiré $d_A(x) = d(x,A)$ . Ahora bien, si $x,y \in X$ ,

$$ |f(x) - f(y)| = \big|\frac{d_F(x)(d_F(y)+d_G(y)) - d_F(y)(d_F(x) + d_G(x))}{(d_F(x)+d_G(x))(d_F(y)+d_G(y))}\big| = \\ = \big|\frac{d_F(x)d_G(y) - d_F(y)d_G(x)}{(d_F(x)+d_G(x))(d_F(y)+d_G(y))}\big| \leq \\ \leq \frac{d_F(x)|d_G(y)-d_G(x)|}{(d_F(x)+d_G(x))(d_F(y)+d_G(y))} + \frac{d_G(x)|d_F(x)-d_F(y)|}{(d_F(x)+d_G(x))(d_F(y)+d_G(y))} \leq \\ \leq \frac{d_F(x)d(x,y)}{(d_F(x)+d_G(x))(d_F(y)+d_G(y))} + \frac{d_G(x)d(x,y)}{(d_F(x)+d_G(x))(d_F(y)+d_G(y))} = \\ = \frac{d(x,y)}{d_F(y)+d_G(y)} \leq \frac{d(x,y)}{d(F,G)} $$

lo que demuestra la continuidad uniforme. Aquí estamos usando que

(i) dado cualquier $x,y \in X$ , $A\subseteq X$ , $|d_A(x) - d_A(y)| \leq d(x,y)$ .

(ii) para cualquier $y \in X$ , $0 < d(F,G) \leq d_F(y) + d_G(y)$ . Esto se debe a que

$$ d(F,G) \leq d(a,b) \leq d(y,a) + d(y,b) \quad (\forall a \in F, \forall b \in G) $$

Tomando el ínfimo a ambos lados en $a \in F$ obtenemos $d(F,G) \leq d_F(y) + d(y,b)$ y ahora tomando el infimo en $b \in G$ da el resultado deseado.