Si genero 100 números enteros aleatorios, cada uno muestreado de 1 a 100 con igual probabilidad, ¿cuántos números únicos espero obtener?

Question

Si genero 100 números enteros aleatorios, cada uno muestreado de 1 a 100 con igual probabilidad, ¿cuántos números únicos espero obtener?

He simulado en Python, ejecutado 1E6 experimentos y parece que el resultado es de alrededor de 63,39.

Sólo quiero una solución analítica a este problema. Gracias

Answer 1

Sea $S$ sea el conjunto de muestras que obtiene de su proceso. Sea $I_i = \begin{cases}1 & i \in S \\ 0 & o.w. \end{cases}$ . Entonces, $S = \{I_1,\cdots,I_{100}\}$ y su pregunta "por término medio, ¿cuántos enteros únicos se seleccionan?" puede traducirse por $$\mathbb{E}\left[\sum_{i=1}^{100} I_i\right] = \sum_{i=1}^{100} P(I_i = 1)$$ Como la muestra es de igual probabilidad, podemos obtener fácilmente: $$P(I_i = 1) = 1 - P(I_i = 0) = 1 - \left(\frac{99}{100}\right)^{100} \approx 0.633967$$ y esto es válido para todos $i=1,\cdots,100$ . Por lo tanto, la respuesta es $100\times 0.633967 \approx 63.3967$ que coincide con su simulación.