Esta torre de campos está haciendo el ridículo

Question

Supongamos $K\subseteq F\subseteq L$ como campos. Entonces es un hecho que $[L:K]=[L:F][F:K]$. No hay otras hipótesis son necesarios (te estoy mirando a ti, Hungerford V. 1.2).

Ahora, obviamente,$[\mathbf{C}:\mathbf{R}]=2$. Pero tenga en cuenta el hecho de que la clausura algebraica de $\mathbf{R}(t)$ tiene cardinalidad $2^{\aleph_0}$---esto implica que $\overline{\mathbf{R}(t)}\cong\mathbf{C}$, por lo que, en particular, podemos incrustar $\mathbf{R}(t)$ a $\mathbf{C}$.

Si integramos $\mathbf{R}$ a $\mathbf{R}(t)$ natural, obtenemos $$\mathbf{R}\subset\mathbf{R}(t)\subset\mathbf{C}.$$

Para nuestro bien hecho al principio nos quieren hacer creer

$$2=[\mathbf{C}:\mathbf{R}(t)][\mathbf{R}(t):\mathbf{R}].$$

¿Cuál es el significado de esto? Cualquiera de estos dos grados son realmente tanto finito o (más probable), me he hecho de un gran error. Tal vez todo sería claro si yo fuera más preciso acerca de "incrustar" $\mathbf{R}(t)$$\mathbf{C}$.

Answer 1

Tu error está en que $[\mathbb{C} : \mathbb{R}] \neq 2$!

Para definir el grado de una extensión de campo no es suficiente para conocer los dos campos involucrados (excepto en casos especiales): usted realmente tiene que saber cuál es la extensión de campo. En este caso, la extensión de campo $\mathbb{R} \to \mathbb{C}$ se construye es que no la extensión de campo que proviene de la inclusión $\mathbb{R} \subseteq \mathbb{C}$, y por lo tanto se puede, y sí, tienen diferentes grados.

De una forma más simple (y más dramático!) ejemplo de este fenómeno es la extensión de campo $F(x) / F(x)$ dado por la incrustación de $F(x) \to F(x)$ que envía a $x \to x^2$. En este caso, tenemos

$$ [F(x) : F(x)] = 2 $$

El supuesto "$K \subseteq F \subseteq L$ como campos" generalmente implica más de lo que dice: también implica que la letra de $F$ se usan, a veces no para un campo, pero para el campo de la extensión definida por la inclusión $K \to F$. Ocasionalmente podríamos explicar por escrito $F/K$ en lugar de $F$. Del mismo modo, $L$ a veces significa un campo, y a veces va a decir $L/F$ y a veces va a decir $L/K$.

Este tipo de tecnicismos, es el precio que tenemos que pagar por la mayor flexibilidad de permitir que las extensiones de cualquier inyectiva mapa de $F \to E$, en lugar de requerir el campo de extensiones venir de un subconjunto de las relaciones $|F| \subseteq |E|$ entre conjuntos. (En la última expresión, $|F|$ significa que el conjunto subyacente, y $\subseteq$ tiene su juego habitual de la teoría de significado)

P. S. si alguna vez estás en la situación en la que se considere la posibilidad de la extensión de campo $F(x) \to F(x)$ arriba, hazte un favor y cambiar el nombre de la variable indeterminada en una de las dos copias de $F(x)$ más que alegremente a seguir adelante como lo hice anteriormente para un efecto dramático. Del mismo modo, es probable que sea prudente añadir una decoración a $\mathbb{R}$ a indicar cuando usted lo está utilizando en una manera inconsistente con su canónica de la inclusión en el $\mathbb{C}$. (o decorar $\mathbb{C}$)

Answer 2

Tenga en cuenta que$\mathbb R(t)\supset\mathbb R[t]$$\mathbb R[t]/(x^2+1)\sim\mathbb C$. Tenga en cuenta que $[\mathbb R(t):\mathbb R]>2$. Tenga en cuenta que todas las desigualdades y las inclusiones en esta respuesta son muy estrictos. Por último, tenga en cuenta que si $R$ es un anillo, $I$ es un ideal, y R es un espacio vectorial sobre un campo $F$, $[R:F]\le[R/I:F]$ si $R/I$ es todavía un espacio vectorial sobre $F$.

A ver que $\mathbb R[t]/(x^2+1)\sim\mathbb C$, considerar la homomorphism $f:\mathbb R[x] \to\mathbb C$ definido por $f(p(x)) = p(i)$.

Este es inyectiva, porque $f(a + bx) = a + bi$ cualquier $z = a + bi$$\mathbb C$, e $(a + bx)$$\mathbb R[x]$.

Siguiente, $\ker (f) = \{p(x) \in\mathbb R[x]: p(i) = 0\} = \{p(x) \in\mathbb R[x]: p(i) = 0 \de la tierra p(-i) = 0\}, \text{puesto que p tiene coeficientes reales} = \{p(x) \in\mathbb R[x]: (x - i)|p(x) \de la tierra (x + i) | p(x)\} = \{p(x) \in\mathbb R[x]: (x - i)(x + i) | p(x)\} = \{(x^2+1) q(x) : q(x) \en R[x]\} = (x^2 + 1)$.

Ahora, a partir de la homomorphism teorema: $\mathbb R[x]/\ker (f) = \mathbb R[x]/(x^2 + 1) \sim C$.

Espero que esto ayude!