Operador de núcleo compacto en $L^p$ espacio

Question

Sea $\displaystyle U_1 \subset \mathbb R^{n_1}$ y $\displaystyle U_2 \subset \mathbb R^{n_2} $ conjuntos medibles, $\displaystyle 1 < p,q < \infty $ y considerar la función medible $\displaystyle K:U_1 \times U_2 \to \mathbb R $ con $$\displaystyle \|K\|= \left( \int_{U_1} \Big( \int_{U_2} |\,K(x,y) |^{p^{'}} dy \Big)^{q/p^{'}} dx \right)^{1/q} < \infty ,$$ donde $\displaystyle \frac{1}{p} + \frac{1}{p^{'}} =1$ .

Demostrar que el operador $T:\displaystyle L^p (U_2) \to L^q (U_1) $ , $\displaystyle (Tf)(x)= \int_{U_2} K(x,y) f(y) dy $ es compacto.

Intenté demostrarlo con la definición del operador compacto pero no lo conseguí. ¿Hay alguna otra forma de hacerlo?

Answer 1

Pistas.

1. $K(x,y)$ puede aproximarse en su norma de operador mediante sumas de la forma $\sum_{i=1}^N a_i(x)b_i(y)$ donde $a_i\in L^q(U_1)$ y $b_i\in L^{p'}(U_2)$ .

2. Si $K(x,y)$ se sustituye por $a_i(x)b_i(x)$ donde $a_i\in L^q(U_1)$ y $b_i\in L^{p'}(U_2)$ , entonces el operador resultante es de rango $1$ y, por tanto, compacta, mientras que si $K$ es sustituido por $K_N(x,y)=\sum_{i=1}^N a_i(x)b_i(y)$ donde $a_i\in L^q(U_1)$ y $b_i\in L^{p'}(U_2)$ entonces el operador resultante es de rango $N$ y, por tanto, de nuevo compacto. Si $\|K_N-K\|\to 0$ entonces $K$ debe ser compacto como límite de operadores compactos.