Monty Hall Problema con cinco puertas

Question

Hace unos días, mi clase de matemáticas repasó el problema original de Monty Hall y, a continuación, examinó una pregunta relacionada en la que el número de puertas se aumentaba a cinco. Nos costó averiguar cuál era la respuesta al problema y, después de volver sobre él unas cuantas veces más, seguimos sin tenerlo claro.

En este problema ampliado, supongamos que eliges la puerta A de entre las puertas A, B, C, D y E. A continuación, el presentador abre una de las otras puertas para mostrar que está vacía y te da a elegir entre quedarte o cambiar a una de las otras puertas restantes. a) Si te quedas siempre con la puerta que has elegido, ¿cuál es la probabilidad de ganar? b) Si siempre cambias a otra puerta, ¿cuál es la probabilidad de ganar?

Ten en cuenta que el anfitrión sólo abrirá una puerta. Todos los problemas extendidos de Monty Hall que encontré en Internet hacían que el anfitrión abriera todas las puertas menos una, así que no eran realmente útiles para este problema concreto en el que está trabajando mi clase.

He calculado que las probabilidades son de 1/4 independientemente de si cambias o no, ya que el anfitrión que abre sólo una puerta vacía no es suficiente para afectar realmente a la diferencia de porcentajes de victorias entre quedarse y cambiar. ¿Es correcto?

EDIT: Perdón por la confusión por no haber sido lo suficientemente claro. El problema que traigo es de hecho ising los mismos principios básicos que el original: el anfitrión siempre se abrirá una puerta después de elegir uno para mostrar que está vacío, y luego se le da a elegir. La razón por la que llegué a 1/4 es porque estaba viendo la situación calculando de cuántas maneras puedes ganar/perder dependiendo de dónde esté el premio después de que el anfitrión abra una puerta vacía así como a qué puerta cambiaste, lo que me dio 3/12 por cada cambio o 1/4 (o juntándolo todo obtuve 12/48). No llegamos lo suficientemente lejos en las lecciones para aprender más sobre el cálculo de probabilidades con condiciones, así que pido disculpas si eso fue lo que me llevó a un cálculo falso. Gracias a todos por las respuestas.

Answer 1

Piénsalo así:

Tienes cinco puertas y eliges una. Ya sabes que tenías $\frac{1}{5}$ posibilidad de acertar. Ahora el presentador debe abrir una de las otras puertas que sabe que está vacía. Esto significa que la probabilidad de que una de las tres puertas que quedan sea la ganadora es $\frac{4}{5}$ mientras que la probabilidad de que la puerta elegida sea la correcta sigue siendo $\frac{1}{5}$ .

Así que si te quedas con tu primera opción, tienes una $\frac{1}{5}$ posibilidades de ganar. Ahora, si decides cambiar a una de las otras tres puertas, sabes que tendrás una $\frac{4}{5}$ posibilidad de ganar (es decir, si se le permitiera decir "elijo este grupo de tres puertas" pero no especificar ninguna, ganaría $4$ de $5$ veces).

Pero aún así sólo puedes elegir UNA puerta, y tienes $3$ para elegir, así que si va a optar por elegir entre los restantes $3$ puertas, que juntas tienen $\frac{4}{5}$ oportunidad de ganar, tendrás una $\frac{1}{3}$ probabilidad de acertar de la selección de estos tres (ya que es igualmente probable que elija cualquiera de estos tres).

Pero puestos todos juntos, eso significa que tienes un $\frac{4}{5} \cdot \frac{1}{3} = \frac{4}{15}$ posibilidad de ganar cambiando a UNA puerta de las restantes $3$ .

Aquí tienes una foto:

Answer 2

El cálculo es sencillo, aunque es fácil enredarse.

La probabilidad de haber elegido la puerta correcta era de una quinta parte cuando la eligió. La acción del anfitrión habría sido posible tanto si hubieras elegido la correcta como si no. La probabilidad sigue siendo de una quinta parte si te quedas.

La probabilidad de que el premio esté detrás de una de las otras puertas es, por tanto, de cuatro quintos. Hay tres posibilidades indistinguibles, cada una de las cuales es correcta con una probabilidad de cuatro quinceavos. La probabilidad si cambia es de cuatro quinceavos.

Answer 3

Supongo que sólo hay un premio detrás de las puertas. La probabilidad de que tu puerta originalmente elegida ( $A$ ) es el ganador es $\frac15$ y esto no cambia porque el anfitrión realmente no le da ninguna informaciónm sobre esa puerta. Sin embargo, sí te da información sobre las otras puertas. Si abre $B$ claramente la probabilidad de $B$ siendo la puerta ganadora es $0$ . Y (a menos que haya algún sesgo conocido en las elecciones del anfitrión) las puertas restantes $C,D,E$ tienen las mismas probabilidades de ganar $p$ . En $\frac15+0+p+p+p=1$ se puede calcular $p=\frac4{15}>\frac15$ .

Answer 4

Usted mencionó,

Todos los problemas extendidos de Monty Hall que encontré en Internet tenían el anfitrión abierto excepto uno, así que no fueron realmente útiles para este problema concreto en el que está trabajando mi clase.

La razón por la que todos los problemas online de Monty Hall tienen al presentador abriendo todos menos uno es para convencerte de que, efectivamente, consigues nuevo información sobre dónde se encuentra el premio en la puerta del anfitrión. Si tienes cien puertas para elegir, eliges una y luego el anfitrión abre 98 de las otras, ¿tienes ahora un 50% de posibilidades? No, tienes un 1% de posibilidades, y el 99% del premio está detrás de la otra puerta. Cambia siempre de puerta.

¿Y si el anfitrión sólo abre 97 de los otros? ¿Tienes ahora 1/3 de posibilidades? No, sigues teniendo un 1% de posibilidades. El 99% de las veces, el premio sigue estando detrás de una de las otras dos puertas, así que ahora cada una de las otras puertas tiene algo así como un 49% de posibilidades de tener el premio. Cambias.

Cuantas menos puertas abra el anfitrión, menores serán las posibilidades de conseguir el premio al cambiar, pero son siempre mayor que la probabilidad de obtener el premio cuando no se cambia. Incluso si el anfitrión sólo abre una puerta, eso aumenta las posibilidades de las otras puertas. Siempre debes cambiar.

Answer 5

$1/4$ no puede ser correcto, porque si llegas al juego con la determinación fija de no cambiar nunca, ganarás exactamente cuando la puerta que elegiste primero tenga el premio, lo cual (suponiendo que el premio esté colocado al azar en primer lugar) ocurre con probabilidad $1/5$ .

Sería absurdo que aumentaran tus posibilidades de ganar simplemente porque el organizador del juego abre primero otra puerta y te da una opción que tú no tomar. Si eso realmente cambió sus posibilidades de éxito, entonces ¿cómo si el anfitrión abrió otra puerta y no ¿te dan la opción de cambiar? Dado que no cambiarías de ninguna de las maneras, el hecho de que se te dé la oportunidad o no no debería cambiar la probabilidad de éxito.

La posibilidad de señalar el correcto puerta era $1/5$ antes de la apertura de una puerta diferente, y debe seguir siendo $1/5$ después. La posibilidad de que el premio esté detrás de uno de los otros puertas es el complemento de esto, es decir, $4/5$ y por simetría debe ser un tercio de esto por puerta, por lo que $4/15$ .