Integral impropia - Si existe una asíntota, ¿tiene que divergir necesariamente?

Question

Contexto: Después de aprender que la serie armónica diverge, he empezado a dudar de sólo mirar gráficos

He aquí una integral impropia con dos asíntotas verticales: $x=0$ y $x=0.5$ .

$$\int_{0}^1\frac{1}{2x^2-x}dx$$

Es divergente.
Mi razonamiento: La función no está acotada en $x=0$ y $x=0.5$ y no es integrable, a pesar de ser continua en casi todas partes a partir de $0$ a $1$ .

Otra posible línea de razonamiento:
La integral puede dividirse en: $\int_{0^+}^{0.5^-}\frac{1}{2x^2-x}dx$ + $\int_{0.5^+}^{1}\frac{1}{2x^2-x}dx$
Cada una de estas integrales, cuando se evalúan, divergen. Así que la integral impropia diverge.

¿Qué razonamiento es más lógico?
¿Existe una función que tenga asíntota vertical $x=k$ pero cuando se evalúa con límites en $x=k^-$ y $x=k^+$ ¿converge?
(Si esto es cierto, entonces la segunda línea de razonamiento podría ser correcta).

Answer 1

Supongo que con "diverge" te refieres a que no es absolutamente (y por tanto Lebesgue) integrable. Porque en ese caso basta con calcular la integral de su valor absoluto $$ \int_0^\frac{1}{2} \frac{1}{x-2x^2} + \int_\frac{1}{2}^2 \frac{1}{2x^2-x} $$ y observe que, por ejemplo, el segundo integrando es $+\infty$ . Porque la integral de su parte negativa es también $+\infty$ su integral de Lebesgue simplemente no tiene sentido.

No dividas tu integral en dos partes diferentes antes de saber que su valor absoluto es integrable (o que el argumento no cambia de signo), porque esa operación no tiene sentido.