probar: $\sum_{r=0}^{ ∞}\frac{{{r+k}\choose{k}}}{(r+k)(r+k-1)}x^r=\frac{\left(k- 2\right)!}{k!}\cdot\frac{1}{\left(1-x\right)^{\left(k-1\right)}}$

Question

Probar: $$\sum_{r=0}^{ }\frac{{{r+k}\choose{k}}}{(r+k)(r+k-1)}x^r=\frac{\left(k- 2\right)!}{k!}\cdot\frac{1}{\left(1-x\right)^{\left(k-1\right)}}$$ Traté de ampliar la suma de tal manera que: $$\sum_{r=0}^{ }\frac{{{r+k}\choose{k}}}{(r+k)(r+k-1)}x^r=\frac{1}{k!}\sum_{r=0}^{ }\frac{(r+k- 2)!}{r!}x^r$$ Creo que esta suma se puede ver como una suma geométrica, pero no puedo llegar a eso.

aquí hay una foto que puede ser útil

Answer 1

¡Ya casi está!

Por el teorema del binomio, el lado derecho puede expandirse como

$$\frac{(k-2)!}{k!}\sum {r+k-2 \choose k-2} x^r,$$

Es una igualdad si los coeficientes de $x^r$ son los mismos. ¿Lo son?

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Aquí está el trabajo

$$\begin{array}{l l l } &=& \frac{(k-2)!}{k!}\sum \frac{(r+k-2)!}{r!(k-2)!} x^r \\ &= &\sum \frac{(r+k-2)!}{r!k!} x^r \\ &=& \sum \frac{1}{(r+k)(r+k-1)} \times \frac{(r+k)!}{r!k!} x^r \\ &=& \sum \frac{1}{(r+k)(r+k-1)} {r+k \choose k } x^r \\ &=& LHS \end{array}$$