Hallar la ecuación indicial de $x^{3}y''+(\cos 2x-1)y'+2xy=0$

Question

Hallar la ecuación indicial de $x^{3}y''+(\cos 2x-1)y'+2xy=0$ (donde $y''$ representa la segunda derivada)

La respuesta de referencia es $m(m-1)-2m+2=0$

¡¡¡Realmente no sé cómo ... por favor ayuda. gracias de antemano!!!

Answer 1

$$x^3y''+(\cos 2x-1)y'+2xy=0$$ cerca de $x=0$ utilizamos $\cos 2x-1\approx 1-2x^2-1=-2x^2$ entonces la EDO es $$x^2y''-2xy'+2y=0$$ Sea $y=x^m$ entonces $$m(m-1)x^m-2mx^m+2x^m=0\implies m^2-3m+2=0 \implies m=1,2$$ Las raíces indiciales son $m=1,2$ .