¿Converso del teorema del valor extremo?

Question

Es bien sabido que las funciones continuas alcanzan mínimos en conjuntos compactos. Un resultado aún más sólido es que las funciones semicontinuas inferiores alcanzan mínimos en conjuntos compactos.

Pregunta. Si una función real ampliada $f$ alcanza un mínimo en cada subconjunto compacto de un espacio topológico $X$ ¿se deduce que $f$ ¿es semicontinuo inferior?

Si ayuda, estoy feliz de asumir que $X$ es un subconjunto convexo y compacto de un TVS localmente convexo y que $f$ es convexa.

Answer 1

¿Qué ocurre con la siguiente función $f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ ? $$ f(x) = \begin{cases} 0, & \text{if $x\neq 0$},\\ 1, & \text{if $x = 0$}. \end{cases} $$ Alcanza un mínimo en todo conjunto (compacto), pero no es l.s.c.