Sea $x \in M_n(F)$ . Si el polinomio característico de $x$ tiene factores primos distintos en el anillo $F[t]$ entonces hay algún idempotente que conmuta con todo lo que conmuta con $x$ Por lo tanto, si el centralizador es maximal, entonces es el centralizador de ese idempotente. El centralizador de un idempotente es claramente maximal. Así que esto da un tipo de subgrupo maximal.
En el resto de los tipos, el polinomio característico tiene la forma $f(t)^k$ para algún polinomio irreducible $f(t)$ . Aquí nos dividimos en dos casos $x$ es semisimple o no lo es. Si $x$ es semisimple, su centralizador es una representación $M_k(F')$ donde $F'$ es una extensión de $F$ . Los elementos que conmutan con este anillo son los elementos de $F'$ y las únicas que tienen un centralizador mayor son las subextensiones. Así que esta álgebra es maximal si y sólo si $F'$ es una extensión de grado primo. Esto da un segundo tipo de subgrupo maximal.
Si $x$ no es semisimple, podemos tomar la descomposición de Jordan $x=x_{ss}+x_n$ y el centralizador de $x$ está contenido en el centralizador de $x_n$ pero $x_n$ no está en el centro de $M_n(k)$ por lo que podemos suponer $x=x_n$ . Entonces tomando una potencia podemos suponer $x^2=0$ . En este caso, podemos comprobar mirando explícitamente el bloque de Jordan que cualquier cosa que conmute con el centralizador de $x$ debe ser una combinación lineal de $1$ y $x$ por lo que el centralizador de $x$ es máxima.
Así que hay tres casos:
El álgebra es el centralizador de un idempotente, el producto de dos álgebras matriciales, como en el ejemplo de Amitanshu.
El álgebra es el álgebra de matrices sobre una extensión de primer grado de $F$ .
El álgebra es el centralizador de una nilpotente $x$ satsificando $x^2=0$ .
