Interpretación geométrica de la característica de convexidad

Question

Recientemente, he estado estudiando la convexidad en espacios de Banach. En particular, he visto la característica de convexidad de un espacio de Banach $X$ dado por $\varepsilon_0(X)=\sup_{\delta_X(\varepsilon)=0}\varepsilon$ donde $\delta_X(\varepsilon)$ es el módulo de convexidad de $X$ . Geométricamente, se dice que la característica de convexidad limita la longitud de los segmentos que se encuentran enteramente en la esfera unidad. Sin embargo, soy incapaz de concluir esto a partir de la definición dada anteriormente. ¿Podría alguien explicarme cómo?

¡Muchas gracias!

Answer 1

Para interpretar el módulo de convexidad $\delta_X (\epsilon)$ podemos pensar en $\epsilon$ como la longitud del segmento de línea que vamos a unir a los puntos de la bola unidad. A continuación, tomamos el ínfimo para identificar el punto medio más cercano a la bola unitaria. El módulo es la distancia desde el punto medio a la bola.

Ahora $\epsilon_0(X)$ toma el supremum del $\epsilon$ tal que $\delta_X(\epsilon)=0$ . Para $\delta_X(\epsilon)$ para que sea cero necesitamos que el punto medio entre dos puntos de la bola también esté en la bola. Esto implica que todo el segmento desde $x$ a $y$ está en la pelota. Si eso nunca sucede tenemos $\epsilon_0(X)=0$ . Sin embargo, si hay un segmento en la frontera, por ejemplo entre los puntos $x$ y $y$ entonces para $0 < \epsilon \leq \|x -y\|$ tenemos $\delta_X(\epsilon) = 0$ . Esto implica $\epsilon_0(X) \geq \epsilon$ . Considerando todas las longitudes posibles vemos que $\epsilon_0(X)$ será la longitud del segmento más largo de la frontera. Éste es el límite que buscábamos.