Generemos sistemáticamente todos los puntos construibles en el plano. Comenzamos con sólo dos puntos, que especifican la distancia unitaria.
Con la regla, podemos construir la línea que los une. Y con el compás, podemos construir las dos circunferencias centradas en cada una de ellas, teniendo como radio ese segmento unitario. Estos círculos se intersecan entre sí y con la recta, creando cuatro puntos de intersección adicionales. Así, tenemos ahora seis puntos en total.
A partir de estos seis puntos, pasamos a la etapa siguiente, en la que construimos todas las rectas y circunferencias posibles utilizando esos seis puntos, y hallamos los puntos de intersección resultantes.
Creo que ahora tenemos 203 puntos. Procedamos de este modo para construir sistemáticamente todos los puntos construibles en el plano, en una jerarquía de etapas finitas. En cada etapa, formamos todas las líneas y círculos posibles que pueden formarse a partir de nuestros puntos actuales utilizando regla y compás, y luego encontramos todos los puntos de intersección a partir de las figuras resultantes.
Esto produce lo que yo llamo el secuencia de constructibilidad :
$$2\qquad\qquad 6\qquad\qquad 203\qquad\qquad ?$$
Cada entrada es el número de puntos construidos en esa fase. Tengo varias preguntas sobre la secuencia de constructibilidad:
Pregunta 1. ¿Cuál es el siguiente número de constructibilidad?
En la enciclopedia en línea no hay ninguna entrada de secuencias de números enteros que empiecen por 2, 6, 203, por lo que me gustaría crear una entrada para la secuencia de constructibilidad. Pero piden al menos cuatro números, por lo que parece que necesitamos saber el siguiente número. No estoy seguro de cómo proceder exactamente con esto, ya que si uno procede computacionalmente, entonces uno inevitablemente tendrá que decidir si dos puntos muy cercanos cuentan como idénticos no lo son, y no veo ninguna manera de principio para asegurar que esto se hace correctamente. Así que parece que uno tendrá que proceder con algún tipo de cálculo geométrico idealizado, que obtiene la respuesta correcta acerca de la coincidencia de puntos de intersección. [ Actualización: La secuencia existe ahora como A333944 .]
Pregunta 2. ¿Qué tipo de límites superiores asintóticos puede demostrar sobre el crecimiento de la secuencia de constructibilidad?
En cada etapa, cada par de puntos determina una línea y dos círculos. Y cada punto de intersección se realiza como la intersección de dos rectas, dos círculos o una recta y un círculo, que tienen como máximo dos puntos de intersección en cada caso. Por tanto, un límite superior aproximado es que a partir de $k$ puntos, no producimos más que $3k^2$ muchas líneas y círculos, y así como mucho $(3k^2)^2$ muchos pares de líneas y círculos, y así como máximo $2(3k^2)^2$ muchos puntos de intersección. Esto conduce a un límite superior de crecimiento algo así como $18^n2^{4^n}$ después de $n$ etapas. ¿Alguien puede dar un límite mejor?
Pregunta 3. ¿Y los límites inferiores?
Sospecho que la secuencia crece muy rápidamente, probablemente de forma doblemente exponencial. Pero para probar esto, parece que tendríamos que identificar un reino de patrones de construcción donde hay poca interferencia de coincidencia de intersección, de modo que uno puede estar seguro de un cierto crecimiento conocido en nuevos puntos.