Matrices sobre campos primos finitos

Question

Sea $p$ sea un primo impar y $\mathbb Z_p$ sea el campo primo de orden $p$ . Consideremos el anillo de matrices $R=M_n(\mathbb Z_p)$ . ¿Existe algún método para contar las soluciones de la ecuación (en el anillo $R$ )

$$X^2=I.$$ Dónde $I$ ¿es la matriz identidad?

Answer 1

Porque $p$ es diferente de $2$ las soluciones son las mismas que las descomposiciones de suma directa $\mathbb{Z}_p^{\oplus n} = E_{+1} \oplus E_{-1}$ como $\mathbb{Z}_p$ -espacios vectoriales. Se pueden indexar por las dimensiones, por ejemplo $r$ y $n-r$ . Para cada una, el número de soluciones es $$ \frac{(p^n-1)(p^n-p) \cdot \dots \cdot (p^n-p^{r-1})}{(p^r-1)(p^r-p) \cdot \dots \cdot (p^r-p^{r-1})} \cdot p^{r(n-r)} $$ Así que la respuesta final es la suma sobre $r$ de $0$ a $n$ de este factor.

Answer 2

Existen $\displaystyle \sum_{i=0}^n \frac{N(n)}{N(i)N(n-i)}$ soluciones a su problema, donde $N(r)$ es el número de elementos en $GL_r(\mathbb{F}_p)$ .

Cualquier $X$ es invertible, y $X\in GL_n(\mathbb{F}_p)$ es una solución si y sólo si es conjugada en $GL_n(\mathbb{F}_p)$ a una matriz diagonal con la primera $i$ entradas iguales a $1$ y por último $n-i$ entradas iguales a $-1$ . Esto explica el número de sumandos. Ahora $g\in GL_n(\mathbb{F}_p)$ conmuta con dicha matriz diagonal si y sólo si preserva ambos eigenspaces. Por lo tanto, existen $\frac{N(n)}{N(i)N(n-i)}$ elementos en la clase de conjugación.

La fórmula puede hacerse aún más explícita sustituyendo la fórmula por $N(r)$ .

Answer 3

Denote $k:=Z_p$ . Si $p\ne2$ la matriz $X$ está en correspondencia uno a uno con una descomposición $k^n=E_+ \oplus E_-$ donde $E_\pm$ es el espacio propio asociado al valor propio $\pm1$ .

Dada la dimensión $m$ de $E_+$ ( $n-m$ para $E_-$ ), estas descomposiciones están en correspondencia uno a uno con las bases de $k^n$ cociente por la acción de $GL_m\times GL_{n-m}$ . Por lo tanto, su número es $$\frac{|GL_n(Z_p)|}{|GL_m(Z_p)|\cdot|GL_{n-m}(Z_p)|}=p^{m(n-m)}\frac{(p-1)\cdots(p^n-1)}{(p-1)\cdots(p^m-1)(p-1)\cdots(p^{n-m}-1)}.$$ Resumiendo todas las posibles $m$ el número de soluciones de $X^2=I$ es $$\sum_{m=0}^np^{m(n-m)}\frac{(p^{m+1}-1)\cdots(p^n-1)}{(p-1)\cdots(p^{n-m}-1)}.$$