Función cuya tercera derivada es ella misma.

Question

Busco una función $f$ cuya tercera derivada es $f$ mientras que la primera derivada no lo es.

¿Existe alguna función de este tipo? ¿Cuál o cuáles? Si no es así, ¿cómo podemos demostrar que no existe ninguna?

Notas:

• $x\longmapsto c\cdot e^x, c \in R$ son las funciones cuya derivada es ella misma.

• $x\longmapsto \cosh(x)={e^x+e^{-x}\over 2}$ y $x\longmapsto \sinh(x)={e^x-e^{-x}\over 2}$ tienen sus segundas derivadas iguales a sí mismas.

• $x\longmapsto f(x)$ tiene su tercera derivada igual a sí misma.

• $x\longmapsto \cos(x)$ y $x\longmapsto \sin(x)$ tienen sus cuartas derivadas iguales a sí mismas.

Answer 1

Queremos resolver $f''' = f$ con $f' \neq f$ . Utilizando métodos estándar para resolver EDO con coeficientes constantes (algunos de los cuales se presentan aquí) se obtiene

$$ f(t) = \frac{1}{3} e^{-t/2} \left(e^{3 t/2} \left(f''(0)+f'(0)+f(0)\right)+\sqrt{3} \sin \left(\frac{\sqrt{3} t}{2}\right) \left(f'(0)-f''(0)\right)+\cos \left(\frac{\sqrt{3} t}{2}\right) \left(-f''(0)-f'(0)+2 f(0)\right)\right) $$

Ahora calculamos $f'(t)$ :

$$ f'(t) = \frac{1}{3} e^{-t/2} \left(\sqrt{3} \left(f''(0)-f(0)\right) \sin \left(\frac{\sqrt{3} t}{2}\right)+e^{3 t/2} \left(f''(0)+f'(0)+f(0)\right)-\cos \left(\frac{\sqrt{3} t}{2}\right) \left(f''(0)-2 f'(0)+f(0)\right)\right) $$

De qué

$$ f(t) - f'(t) = \frac{1}{3} e^{-t/2} \left(3 \left(f(0)-f'(0)\right) \cos \left(\frac{\sqrt{3} t}{2}\right)+\sqrt{3} \sin \left(\frac{\sqrt{3} t}{2}\right) \left(-2 f''(0)+f'(0)+f(0)\right)\right) $$

Las soluciones vienen dadas por la primera ecuación con

$$ f(0)-f'(0)\neq 0 \,\, \mathrm{or }\,\, -2 f''(0)+f'(0)+f(0)\neq 0 $$

Answer 2

Si busca una función real, aquí tiene una:

$$ f(x) = e^{cos(\frac{2}{3}\pi)x} * cos(sin(\frac{2}{3}\pi)x) $$

Trazado de f, f', f'', f''':

Gráfico de f, f', f'', f'''

Puede verificarlo: derivative-calculator.net

Para un problema más común: Función cuya enésima derivada es ella misma, la siguiente es una:

$$ f(x) = e^{cos(\frac{2\pi}{n})x} * cos(sin(\frac{2\pi}{n})x) $$

Con n = 1, 2, 4:

$$ f(x)_{n=1} = e^{cos(2\pi)x} * cos(sin(2\pi)x) = e^x * cos(0) = e^x $$

$$ f(x)_{n=2} = e^{cos(\pi)x} * cos(sin(\pi)x) = e^{-x} * cos(0) = e^{-x} $$

$$ f(x)_{n=4} = e^{cos({\pi \over 2})x} * cos(sin({\pi \over 2})x) = e^0 * cos(x) = cos(x) $$

explica brevemente:

$$ (e^{wx})' = w * e^{wx} \\ (e^{wx})^{(n)} = w^n * e^{wx} \\ $$

Sabemos $w^n = 1$ tiene n raíces:

$$ w = cos(\frac{2\pi*t}{n}) + isin(\frac{2\pi*t}{n}), t = 0, 1, 2...n-1 $$

let:

$$ \begin{align} w_1 & = cos({2\pi \over n}) + isin({2\pi \over n}) \\ w_2 & = cos({2\pi \over n}) - isin({2\pi \over n}) \\ a & = cos({2\pi \over n}) \\ b & = sin({2\pi \over n}) \\ w_1 & = a + bi \\ w_2 & = a - bi \\ \end{align} $$

que tenemos: $$ \begin{align} f(x) & = {{e^{w_1x} + e^{w_2x}} \over 2} \\ & = {{e^{(a+bi)x} + e^{(a-bi)x}} \over 2} \\ & = {{e^{ax} * e^{bix} + e^{ax} * e^{-bix}} \over 2} \\ & = {{e^{ax} * (e^{bix} + e^{-bix})} \over 2} \\ & = {e^{ax} * (cos(bx) + isin(bx) + cos(-bx) + isin(-bx)) \over 2} \\ & = e^{ax} * cos(bx) \\ & = e^{cos(\frac{2\pi}{n})x} * cos(sin(\frac{2\pi}{n})x) \end{align} $$