Prueba esto: $f(x) = \sum_{m=0}^\infty \frac{x^{3m}}{(3m)!}$ . Esta función es como la función exponencial, que puede definirse como $e^x=\sum_{m=0}^\infty \frac{x^m}{m!}$ pero sólo tomando uno de cada tres términos de la suma. Diferenciando término a término se verifica la propiedad deseada.
En general, las funciones $\Lambda_m^k(x) := \sum_{n=0}^\infty \frac{x^{nm+k}}{(nm+k)!}$ para $0\leq k < m$ definen el conjunto de $m$ soluciones linealmente independientes de $\frac{d^mf}{df^m} = f$ con $\frac{d^jf}{df^j} \neq f$ para $j < m$ . De nuevo, es fácil ver esto utilizando la diferenciación término a término, pero calcular realmente las funciones de esta forma es inviable. La teoría de las EDO garantiza que todas las soluciones son combinaciones lineales de estas funciones lambda, pero no todas las combinaciones lineales satisfacen nuestra segunda condición.
Ten en cuenta que todas las funciones que mencionas pueden realizarse como combinaciones lineales de estas funciones lambda:
$e^x = \Lambda_1^0(x)$ ; $\cosh(x) = \Lambda_2^0(x)$ ; $\sinh(x) = \Lambda_2^1(x)$ ;
$\sin(x) = \Lambda_4^1(x) - \Lambda_4^3(x); \cos(x) = \Lambda_4^0(x) - \Lambda_4^2(x)$
PS: Si hay alguna preocupación sobre la convergencia de estas sumas, sólo hay que tener en cuenta que son esencialmente la suma de la función exponencial, pero con términos que faltan. Dado que la suma exponencial es absolutamente convergente para todo $x$ las sub-sumas también son absolutamente convergentes y pueden diferenciarse término a término.
