Tener un pedo cerebral. Tratando de encontrar la antiderivada de $$\int \frac{x}{\sqrt{2}-\sin{2x}}dx$$
Primero hice la sustitución: $$\begin{align} \begin{cases} u&=\sqrt{2}-\sin{2x} \to x=\frac{1}{2} \arcsin{(\sqrt{2}-u)} \\ du &=-2\cos{2x}\,dx \to dx=\frac{1}{-2\sqrt{1-(\sqrt{2}-u)^2}}du\end{cases} \end{align}$$
Así $$I=\frac{-1}{4}\int \frac{\arcsin(\sqrt{2}-u)}{\sqrt{1-(\sqrt{2}-u)^2}}du$$ Y teniendo en cuenta que tenemos una función y su derivada en el integrando:
$$\begin{align} \begin{cases} v&=\sqrt{2}-u \\ -dv &=du \end{cases} \end{align} \implies I=\frac{+1}{4}\int \frac{\arcsin v}{\sqrt{1-v^2}}dv \implies$$
$$\begin{align} \begin{cases} m&=\arcsin{v} \\ dm &=\frac{1}{\sqrt{1-v^2}} dv \end{cases} \end{align} \implies I=\frac{+1}{4}\int m\cdot dm \implies$$
$$\begin{align} I&=\frac{m^2}{8}+C \\ &=\frac{(\arcsin{v})^2}{8}+C \\ &=\frac{[\arcsin{(\sqrt{2}-u)}]^2}{8}+C \\ &=\frac{(2x)^2}{8}+C=\frac{x^2}{2}+C\end{align}$$
Y eso no está bien....así que busco consejo y sabiduría, y ¿dónde está mi error?
