La ecuación $x^4 − y^4 = z^p$

Question

En el artículo de Darmon La ecuación $x^4 y^4 = z^p$ dice:

"Factorizar el lado izquierdo de $a^4 b^4 = c^p$ la hipótesis $\gcd(a, b) = 1$ obliga a los tres factores $a + b, a b, a^2 + b^2$ ser $p$ a potencias hasta potencias de $2$ ."

¿Cómo puede $\gcd(a,b)=1$ ¿Forzar esto? ¿Qué quiere decir con " $p$ a potencias hasta potencias de $2$ "?

Además, afirma que $a^2-b^2$ es un $p$ ª potencia hasta potencias de $2$ . Esto ocurre en el discriminante y es también el producto de los dos primeros factores de la factorización del lado izquierdo de su ecuación.

Lo que "depende de los poderes de $2$ "significa que si dos de los factores $a+b$ y $a-b$ lo tienen, entonces su producto lo tiene. La cuestión es que Darmon cita esto como una razón por la que es capaz de hacer la bajada de nivel de Ribet en parte de su solución, por lo que se vuelve crítico saber qué quiere decir con "hasta los poderes de $2$ ".

Darmon afirma: "En cualquier caso, ord $_l(\Delta) \equiv 0 \pmod p$ ya que $a^2 b^2$ es un $p$ ª potencia hasta potencias de $2$ ."

Pero ¿por qué el "ya que" y la apelación a "hasta los poderes de $2$ "significa orden $_l(\Delta) \equiv 0 \pmod p$ ?

Answer 1

Un número $n$ es un $p$ hasta potencias de 2 si y sólo si puede expresarse de la forma $2^km^p$ para algunos números enteros $k,m$ . Obsérvese que esto equivale a decir que, en la factorización en primos de $n$ todos los primos son múltiplos de $p$ veces, excepto posiblemente el primo 2.

Para la primera mitad de la pregunta, se puede utilizar el algoritmo de Euclides para comprobar que si $a$ y $b$ son relativamente primos, entonces los tres factores $a-b,a+b,a^2+b^2$ de $a^4-b^4$ son pares relativamente primos hasta un factor de 2. Por lo tanto, cualquier factor primo $l$ de uno de esos tres factores no es un factor de ninguno de los otros a menos que $l=2$ . Por lo tanto, puesto que $l$ debe ser múltiplo de $p$ veces en la factorización prima de $a^4-b^4$ (como $a^4-b^4$ es un $p$ potencia), debe aparecer un múltiplo de $p$ veces en la factorización de ese factor solo.

Para la segunda mitad, ord $_l(\Delta)$ se utiliza para referirse al número de veces $l$ aparece como factor de $\Delta$ . Entonces, esto es realmente decir que cada primo distinto de 2 (porque estamos en el caso $l\ne2$ ) es múltiplo de $p$ veces en la factorización de $\Delta$ . Por lo tanto, si escribimos $a^2-b^2$ como $2^k*m^p$ entonces $\Delta=2^6*c^{2p}*(a^2-b^2)^{2}=2^6*c^{2p}*(2^k*m^p)^{2}=2^{2k+6}*(c^2*m^2)^{p}‌​$ de lo que se deduce la afirmación.