Determinar el valor de $\lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{i} \frac{j}{n^3}$

Question

Tomado de W.J Kaczor, Problema en análisis matemático, página 28.

Determina el valor:

$$\lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{i} \frac{j}{n^3}.$$

Mi intento: $$\lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{i} \frac{j}{n^3}=\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{n^3} \sum_{j=1}^{i}j$$

Después de eso, no puedo seguir adelante.

Answer 1

Utilice la fórmula para $\sum_{j=1}^i j$ .

Answer 2

Suponiendo que es un número entero positivo, las fórmulas bien conocidas $$\sum_{k=1}^mk=\frac{m(m+1)}{2} \qquad\text{ and }\qquad \sum_{k=1}^mk^2=\frac{m(m+1)(2m+1)}{6},$$ rendimiento con algo de álgebra básica \begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{i} \frac{j}{n^3} &=&\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{n^3}\sum_{j=1}^ij=\frac{1}{n^3}\sum_{i=1}^n\frac{i(i+1)}{2}\\ &=&\frac{1}{2n^3}\sum_{i=1}^ni+\frac{1}{2n^3}\sum_{i=1}^ni^2\\ &=&\frac{1}{2n^3}\frac{n(n+1)}{2}+\frac{1}{2n^3}\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\\ &=&\frac{2n^3+6n^2+3n}{12n^3}=\frac{1}{6}+\frac{1}{2n}+\frac{1}{3n^2}. \end{eqnarray*} Por lo tanto, el límite es $$\lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{i} \frac{j}{n^3}=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{6}+\frac{1}{2n}+\frac{1}{3n^2}\right)=\frac{1}{6}.$$

Answer 3

Utilizando Cesaro-Stolz el límite deseado es igual al límite de $$\frac{1}{n^3-(n-1)^3}\sum_{j=1}^{n}j$$ y esto es lo mismo que el límite de $$\frac{1}{3n^2}\sum_{j=1}^{n}j$$ Aplicando de nuevo Cesaro-Stolz vemos que el límite deseado es igual al límite de $$\frac{n}{3(n^2-(n-1)^2)}$$ que es claramente $1/6$ y hemos terminado.