Demostrar que la función (0, ∞) a (0, ∞) no puede existir si $(f(x))^2>(f(x+y))((f(x)+y))$

Question

Así que estamos tratando de demostrar que no existe ninguna función $f: (0,\infty) \rightarrow(0,\infty)$ tal que $f(x)^2\ge f(x+y) (f(x)+y)\quad x,y\gt0$

He intentado dividirlo en 3 casos para mostrar si $x\gt y$ y $x\lt y$ y $x= y$ para demostrar que $f(x+y)\gt f(x)$ ¿pero eso no depende de la función inicial? es decir $\frac{1}{x}\gt\frac{1}{x+y}$ no $\lt$ como quería mostrar.

Estoy perplejo sobre cómo probar esto para cualquier función.

Hemos intentado ponerlo todo de un lado y hacer la ecuación cuadrática para intentar buscar un valor numérico que demuestre que $f(x+y)\gt f(x)$ por lo que podríamos decir que $f(x+y)f(x)\gt f(x)f(x)$ lo que implicaría que $f(x+y)f(x)\gt f(x)^2$ por lo que nuestra función original de $f(x)^2\ge((f(x+y))((f(x)+y))$ podría reescribirse como $f(x)^2\ge((f(x))^2+f(x+y)y)$ que sabemos $f(x)^2 \lt f(x)^2 + y$ por lo que tendríamos una contradicción.

Pero nunca consigo escribir una prueba formal de las ideas que tengo. Si es que mi idea era siquiera una idea válida. Gracias de antemano.

Sólo tenía una idea para encontrar algún valor de tal manera que siempre es contradictorio como elegir $y=x^2-x$ pero entonces $y$ podría tener un valor negativo así que voy a tener que encontrar un nuevo y=, ¡pero ese es el camino que estoy siguiendo ahora!

Answer 1

La idea que subyace a la prueba es la siguiente. $f(x)$ es una función positiva decreciente con el límite $0$ en el infinito. Tratamos de demostrar que con la desigualdad indicada anteriormente, $f(x)$ disminuye tan rápido que no puede permanecer todo el tiempo por encima de cero.

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En primer lugar, observe que $f$ es monotónicamente decreciente: $$ (f(x))^2\geq f(x+y)((f(x)+y))\geq f(x+y)f(x)\implies f(x)\geq f(x+y) $$

En segundo lugar observar que: $$ (f(x))^2\geq f(x+y)((f(x)+y))\geq f(x+y)y\implies f(x+y)\leq \frac{f(x)^2}{y} $$ Por lo tanto $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=0$ .

Ahora porque $f$ es monotónicamente decreciente, tiene puntos de discontinuidad contables. Supongamos por lo demás que los valores de $x,y$ se eligen en el conjunto de continuidades de $f$ denotado por $\mathcal C$ . $f$ ha terminado $\mathcal C$ diferenciable. Tenemos: $$ \frac{f(x+y)-f(x)}{y}+\frac{f(x+y)}{f(x)}\leq 0 $$ En $y\to 0$ para $x\in\mathcal C$ tenemos: $$ f'(x)+1\leq 0. $$ Por lo tanto $g(x)=f(x)+x$ es decreciente en $\mathcal C$ y porque $f(x)$ y $x$ son positivos, por lo tanto $g(x)\geq 0$ acotado por debajo y, por tanto, debería converger a $L<\infty$ cuando $x\to\infty$ . Pero..: $$ \displaystyle\lim_{x\to+\infty}g(x)=\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)+\displaystyle\lim_{x\to+\infty}x=0+\infty=\infty $$ lo cual es una contradicción.