¿Alguien tiene una explicación intuitiva de por qué este es el caso?
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Daniel Broekman
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En realidad, hay varias maneras de interpretar esa pregunta, dependiendo de lo que quieres decir por "vector" y "rotación". Pero aquí hay un sentido de que a menudo me he preguntado acerca de mí mismo: en la introducción a la física, el vector de velocidad se define como el tiempo derivada del vector de posición (relativa a algún punto fijo). ¿Por qué el mismo no es cierto de la velocidad angular, es decir, ¿por qué no hay una "posición angular del vector" que la velocidad angular puede ser la derivada de?
Como cuestión de hecho, hay veces que hay. Creo que sobre este caso simple: elegir una sola, fija, eje de rotación, y considerar sólo las rotaciones alrededor de ese eje. (2D rotaciones, si usted prefiere pensar de esa manera) Se quedaría con una cierta orientación a ser el "origen", y en realidad se podría definir una posición angular del vector, apunta a lo largo del eje de rotación, con una longitud igual a la cantidad de rotación en relación a que "origen" de la orientación.
Ahora, supongamos que el objeto de la posición angular está cambiando con el tiempo. Usted puede tomar la derivada de la posición angular del vector, y espero que usted puede ver que lo que se consigue es simplemente la vieja y buena velocidad angular. No hay ningún problema.
Pero vivimos en un mundo en 3D (a pesar de la relatividad), entonces, ¿qué sucede cuando se intenta generalizar que el modelo de 3 dimensiones? Que es donde te encuentras con problemas. Como ejemplo, tome el objeto del último párrafo, que se puede girar alrededor de un eje particular - es decir, el $\hat{z}$ eje. Ahora supongamos que cambia su movimiento, de modo que comienza a rotar alrededor de un eje diferente, tal vez la $\hat{x}$ eje. Cómo va a representar su orientación ahora?
Usted puede ser tentado a utilizar una "posición angular del vector" apuntando en la $\hat{z}$ dirección, cuya longitud representa la cantidad de rotación alrededor de la $\hat{z}$ eje, y la otra es "la posición angular del vector" apuntando en la $\hat{x}$ dirección, cuya longitud representa la cantidad de rotación alrededor de la $\hat{x}$ eje. Después de todo, que trabaja para la posición. Pero no funciona para la posición angular. La razón es que las rotaciones no conmutan, para usar la jerga técnica. Lo que significa es que si usted aplica la rotación de un objeto y seguimiento de la misma por la rotación de la B, que es de alrededor de un eje diferente, se obtiene un resultado diferente si se aplica la rotación de la B, seguido por la rotación de la A.
Este pequeño problema se interpone en el camino si usted intenta combinar sus dos $x$ - $z$ - posición angular vectores en uno general angular del vector de posición. Presumiblemente, habría que escribir este vector total como $(\theta_x, 0, \theta_z)$ (el cero podría representar la cantidad de rotación alrededor de la $\hat{y}$ eje). Que el vector que represente la suma de $\theta_x$ veces la unidad de rotación alrededor de la $\hat{x}$ dirección de e $\theta_z$ veces la unidad de rotación alrededor de la $\hat{z}$ dirección. Pero le falta una pieza fundamental de la información: cual de estas rotaciones se realizó por primera vez? Si usted le dio a ese vector a su físico amigo, él sería incapaz de reproducir la orientación del objeto, porque no sabe si se va a realizar la $x$-rotación o $z$-rotación de la primera. Seguro, usted puede saber que el objeto se gira en el $z$la dirección de la primera, sino que la información debe estar contenida en el vector para ser de cualquier uso.
El punto de que el último párrafo es que no hay manera de sensatez crear combinaciones lineales de estos vectores de posición angular." Y que casi arruina su utilidad, debido a que la capacidad para ser linealmente combinado es absolutamente fundamental para la definición de un vector, y es la base de una gran cantidad de los métodos de análisis de uso en la física.
Por cierto, en este punto de vista, la razón de matrices de obra para representar rotaciones es que las matrices ofrecemos una operación adicional, multiplicación, que se puede utilizar para combinarlos. Lo que ocurre es que la multiplicación de la matriz, para ciertas matrices (3x3 antisimétrica con determinante 1), tiene las mismas propiedades que componen las rotaciones; más en particular, también es no conmutativa. Multiplicar la matriz a por la matriz B puede dar un resultado diferente de la multiplicación de la matriz B por la matriz A.
Esta es una nota sobre el por qué de velocidades angulares son vectores, para complementar Matt y David excelentes explicaciones de por qué las rotaciones no son.
Cuando decimos que algo tiene una cierta velocidad angular $\vec{\omega_1}$, significa que cada parte de la cosa tiene una posición dependiente de la velocidad
$\vec{v_1}(\vec{r}) = \vec{\omega_1} \times \vec{r}$.
Podríamos considerar otro de estos movimientos
$\vec{v_2}(\vec{r}) = \vec{\omega_2} \times \vec{r}$
y pregunto ¿qué pasa cuando añadimos ellos. Tenemos
$\vec{v_1}(\vec{r}) + \vec{v_2}(\vec{r}) = \vec{\omega_1} \times \vec{r} + \vec{\omega_2} \times \vec{r}$.
El producto cruzado es lineal, así que esto es equivalente a
$(\vec{v_1} + \vec{v_2})(\vec{r}) = (\vec{\omega_1} + \vec{\omega_2}) \times \vec{r}$,
por lo que se hace fino sentido para agregar velocidades angulares mediante la adición de vectores.
Mads Kristiansen
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La definición de propiedades de los vectores que usted puede agregar y multiplicar por constantes. Estos dos hacen sentido para velocidades angulares. Por otro lado, la adición de rotaciones no tiene sentido. Qué se puede hacer con dos rotaciones se componen: primera rotación de una manera, a continuación, gire otros. Esta operación no se parece a la adición de cualquier tipo. Para una cosa, no conmutan. Rotación de algo $30$ grados alrededor de la $x$-eje, a continuación, $60$ grados alrededor de la $y$-eje, no es lo mismo que hacer las dos operaciones en el orden inverso. (Si nunca lo has hecho así, recoger un objeto y probar!) Por lo que la operación matemática que corresponde a las rotaciones tiene que ser algo que es capaz de expresar noncommutativity. Matrices de trabajo de forma muy natural para esto; para que dos matrices a y B, no es cierto en general que $AB = BA$.
Dimensio1n0
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Se están mezclando cosas diferentes. La primera es una transformación de rotación. Dicha transformación es lineal y por lo tanto puede ser escrito como una matriz.
$$\bf\vec x'=A\vec x $$
Ahora, la velocidad angular, es la velocidad física de una rotación. $$\vec\omega=\frac{\mbox d\vec\theta}{\mbox dt}$$ Este theta es el desplazamiento angular, o el ángulo de rotación. Este es TAMBIÉN un vector como la velocidad angular. Este theta es algo así como la cantidad de rotación si se piensa en el desplazamiento como la cantidad de movimiento
El $\theta$ no es la misma que la Una, en cualquier caso. La transformación debido a una matriz, como en el primer caso es el de una transformación matemática en lugar de la rotación de cualquier objeto. No hay ningún parámetro de tiempo asociado con él a menos que usted deje $\bf A$ ser una función del tiempo (es decir, depende de la época) en lugar de constante. Por supuesto, una rotación de decir, un palo PUEDE ser modelado como un tiempo-dependiente de la matriz a medida que el tiempo evoluciona, es decir,
$$\vec x(t)=\mathbf{A} \vec x(0)$$
Donde x es el vector que apunta en la dirección de la vara con la misma magnitud (longitud) como la longitud de la vara.
Pero aún no es el mismo como theta. Es sólo una transformación que actúan sobre vectores.
La palabra clave es actuar sobre vectores. El vector que describe el stick $\vec x$ es un vector, y así es el desplazamiento angular, velocidad angular, aceleración angular, angular sacudida, angular a la compresión, etc.
Del mismo modo, también es posible describir la rotación como una transformación afín en desplazamientos angulares:
$$\vec \theta'=\vec\theta+\vec\omega t+\frac{1}{2}\vec\alpha t^2+ \frac{1}{6}\vec\varphi t^3 +...$$
Este es, precisamente, la serie de Maclaurin.
Dan Herbert
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Esto puede no ser intuitivo al principio, pero creo que es valiosa en la comprensión de la relación entre la rotación de las matrices y velocidades angulares. También, sé que no tiene sentido responder a la pregunta, pero tengo la sensación de que hay confusión en el OP y esto podría ayudar.
Así que, dado que la rotación de las matrices de $E_1$ $E_2$ para conectar dos cuerpos rígidos ¿cómo ser establecer su velocidad angular de la cinemática? Cómo es $\vec{\omega}_1$ relacionado a $\vec{\omega}_2$?
Supone que las dos matrices de rotación están relacionados por una sola rotación alrededor de un eje $\hat{z}$ local en el primer cuerpo y el ángulo de $\theta$ tal que
$$ E_2 = E_1 {\rm Rot}(\hat{z}, \theta) $$
Diferenciar la ecuación anterior para obtener las velocidades angulares utilizando el marco giratorio de derivados.
$$ \frac{{\rm d}}{{\rm d} t} E_1 = \vec{\omega}_1 \times E_1 $$ $$ \frac{{\rm d}}{{\rm d} t} E_2 = \vec{\omega}_2 \times E_2 $$ $$ \frac{{\rm d}}{{\rm d} t} {\rm Rot}(\hat{z},\theta)= \dot{\theta} \hat{z} \times {\rm Rot}(\hat{z},\theta) $$
Usando la regla de la cadena, a continuación,
$$ \frac{{\rm d}}{{\rm d} t} E_2 =\left(\frac{{\rm d}}{{\rm d} t} E_1 \right) {\rm Rot}(\hat{z},\theta) + E_1 \left( \frac{{\rm d}}{{\rm d} t} {\rm Rot}(\hat{z},\theta)\right) $$
$$ \vec{\omega}_2 \times E_2 = \left( \vec{\omega}_1 \times E_1 \right) {\rm Rot}(\hat{z},\theta) + E_1 \left(\dot{\theta} \hat{z} \times {\rm Rot}(\hat{z},\theta)\right) $$ $$ \vec{\omega}_2 \times E_2 = \vec{\omega}_1 \times E_2 + \dot{\theta} (E_1 \hat{z}) \times (E_1 {\rm Rot}(\hat{z},\theta)) $$
$$ \vec{\omega}_2 \times E_2 = ( \vec{\omega}_1 + E_1 \hat{z} \dot{\theta} ) \times E_2 $$
lo que es cierto sólo cuando
$$ \vec{\omega}_2 = \vec{\omega}_1 + E_1 \hat{z} \dot{\theta} $$
La ecuación anterior describe el rotativo de la cinemática de la conexión de la articulación, y se deriva de la secuencia de rotaciones. Del mismo modo para la más complicada de las articulaciones.
El tiempo derivado de la secuencia de rotación de los rendimientos de la rotación angular de la cinemática.
