Teorema de representación de Riesz para $C_{0}([0,T])$

Question

Tengo una pregunta sobre el teorema de la representación de Riesz.

Sea $X$ sea un espacio compacto de Hausdorff y $C(X)$ el espacio de Banach de todas las funciones continuas sobre X con norma suprema. El teorema de la representación de Riesz dice que todo operador lineal acotado sobre $C(X)$ se realiza mediante una integral con respecto a una cierta medida con signo finito sobre $X$

Estoy intentando aplicar este teorema para el siguiente espacio de Banach.

$T>0$ Corrección.

$C([0,T]):=\{w:[0,T]\to \mathbb{R}\,;\, w \,{\rm is\,conti.} \}$

$C_{0}([0,T]):=\{w \in C([0,T]) \,; \,w(0)=0 \}$

Entonces $C([0,T]),C_{0}([0,T])$ es un espacio de Banach con norma de supremacía $\|w\|=\sup_{0 \leq t \leq T}|w(t)|$

Según el teorema anterior, para cualquier $A \in C([0,T])^{*}$ existe una cierta medida con signo finito sobre $[0,T]$

Sea $A \in C_{0}([0,T])^{*} $ . Entonces podemos deducir que una medida con signo finito corresponde a $A$ es una medida con signo finito sobre $(0,T]$ ?

Answer 1

Si $\Phi \in C_{0}[0,T]^{\star}$ entonces, por el teorema de Hahn-Banach, existe $\Psi \in C[0,T]^{\star}$ tal que $\|\Phi\|=\|\Psi\|$ y $\Psi=\Phi$ en $C_{0}[0,T]$ . Esto da lugar a la existencia de una medida de Borel con signo finito $\mu$ en $[0,T]$ tal que $$ \Phi(f) = \int_{0}^{T}f\,d\mu. $$ La medida $\mu$ es única entre las medidas con signo de Borel finitas para las que $\mu\{0\}=\mu\{T\}=0$ . Esta unicidad se deduce del hecho de que las funciones características de los intervalos abiertos $(a,b)\subseteq (0,T)$ son límites puntuales de funciones uniformemente acotadas en $C_{0}[0,T]$ .